Construa uma aproximação linear para a função y(t)=4 \operatorname{sen} 2 t. (a) Calcule a sua aproximação em t=0,0,001,0,01,0,1 \mathrm{e} 1,0. (b) Para quais valores de t seu modelo proporciona uma aproximação “razoável” para a função real (não linear) y(t) ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos a aproximação linear (polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de t=0) da função
y(t)=4\sin(2t)
e depois avaliar essa aproximação nos pontos t=0,\;0,001,\;0,01,\;0,1 e 1,0. Em seguida, devemos discutir para quais valores de t essa aproximação é “razoável”. Usaremos a fórmula
L(t)=f(0)+f'(0)\,(t-0)
onde f(t)=4\sin(2t).

Passo 2

Calculemos f(0) e f'(0).
f(0)=4\sin(0)=0.
Derivando,
f'(t)=4\cdot2\cos(2t)=8\cos(2t),
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f'(0)=8\cos(0)=8.
Portanto a aproximação linear é
L(t)=0+8\,t=8t.

Passo 3

Agora avaliamos L(t)=8t nos pontos indicados, usando vírgula para decimais:
L(0)=8\cdot0=0,
L(0,001)=8\cdot0,001=0,008,
L(0,01)=8\cdot0,01=0,08,
L(0,1)=8\cdot0,1=0,8,
L(1,0)=8\cdot1,0=8.

Passo 4

Para julgar a qualidade da aproximação, comparemos com os valores exatos y(t)=4\sin(2t):
y(0)=0,
y(0,001)=4\sin(0,002)\approx4\cdot0,002=0,008,
y(0,01)=4\sin(0,02)\approx4\cdot0,0199987\approx0,07999,
y(0,1)=4\sin(0,2)\approx4\cdot0,198669\approx0,79468,
y(1,0)=4\sin(2)\approx4\cdot0,909297\approx3,63719.
Os erros absolutos \lvert L(t)-y(t)\rvert são, respectivamente, cerca de
0,\quad 5\times10^{-9},\quad 1\times10^{-5},\quad 0,00532,\quad4,36281.

Passo 5

Uma aproximação é “razoável” quando o erro é pequeno em relação ao valor da função. Aqui vemos que até t=0,1 o erro absoluto fica abaixo de 0,01 (menos de 1\% em relação a y(0,1)\approx0,79), mas em t=1,0 o erro é da ordem de 4,36 (mais de 100\%). Portanto, a aproximação linear L(t)=8t é razoável para valores de t pequenos, tipicamente até cerca de 0,1.

Resposta

(a) A aproximação linear é L(t)=8t e
L(0)=0,\quad L(0,001)=0,008,\quad L(0,01)=0,08,\quad L(0,1)=0,8,\quad L(1,0)=8.
(b) Essa aproximação é razoável para t\lesssim0,1, pois nesse intervalo o erro absoluto permanece muito pequeno (menos de 1\% em relação ao valor exato).

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