Construa uma aproximação linear para a função
. (a) Calcule a sua aproximação em
. (b) Para quais valores de
seu modelo proporciona uma aproximação “razoável” para a função real (não linear)
? Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pede para fazermos a aproximação linear (polinômio de Taylor de primeira ordem em torno de
) da função
e depois avaliar essa aproximação nos pontos
e
. Em seguida, devemos discutir para quais valores de
essa aproximação é “razoável”. Usaremos a fórmula
onde
.
Passo 2
Calculemos
e
.
Derivando,
logo
Portanto a aproximação linear é
Passo 3
Agora avaliamos
nos pontos indicados, usando vírgula para decimais:
Passo 4
Para julgar a qualidade da aproximação, comparemos com os valores exatos
:
Os erros absolutos
são, respectivamente, cerca de
Passo 5
Uma aproximação é “razoável” quando o erro é pequeno em relação ao valor da função. Aqui vemos que até
o erro absoluto fica abaixo de
(menos de
em relação a
), mas em
o erro é da ordem de
(mais de
). Portanto, a aproximação linear
é razoável para valores de
pequenos, tipicamente até cerca de
.
Resposta
(a) A aproximação linear é
e
(b) Essa aproximação é razoável para
, pois nesse intervalo o erro absoluto permanece muito pequeno (menos de
em relação ao valor exato).