Demonstre:
Que o elemento de volume d^{4} x \equiv d^{3} \vec{x} d t é um invariante lorentziano;
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o elemento de volume em quatro dimensões
d^4x \;\equiv\; d^3\vec x\,dt
é invariante sob transformações de Lorentz.
O conteúdo necessário é: definição de transformação de Lorentz linear, cálculo de jacobiano e propriedade de determinante de matrizes de Lorentz.
Passo 2
Escrevemos o elemento de volume em componentes de coordenadas como
d^4x \;=\; dx^0\,dx^1\,dx^2\,dx^3,
onde x^0 = ct (ou simplesmente t, se c=1). Sob uma transformação de Lorentz linear temos
x'^\mu \;=\;\Lambda^\mu_{\\ \nu}\,x^\nu,
logo o volume transforma-se segundo o determinante do jacobiano:
Para transformações de Lorentz próprias e orientadas no tempo (o grupo SO^+(1,3)), temos \det\Lambda=+1. Portanto
d^4x' \;=\;\det\Lambda\;d^4x \;=\;d^4x,
isto é, o elemento de volume em quatro dimensões é invariante.
Resposta
O elemento de volume d^4x=d^3\vec x\,dt é invariante sob transformações de Lorentz, pois para \Lambda\in SO^+(1,3) vale \det\Lambda=+1 e assim d^4x'=d^4x.
Elétrica - José Maria Bassalo - Eletrodinâmica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 1.2.a