Demonstre:
Que o elemento de volume d^{4} x \equiv d^{3} \vec{x} d t é um invariante lorentziano;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o elemento de volume em quatro dimensões
d^4x \;\equiv\; d^3\vec x\,dt
é invariante sob transformações de Lorentz.
O conteúdo necessário é: definição de transformação de Lorentz linear, cálculo de jacobiano e propriedade de determinante de matrizes de Lorentz.

Passo 2

Escrevemos o elemento de volume em componentes de coordenadas como
d^4x \;=\; dx^0\,dx^1\,dx^2\,dx^3,
onde x^0 = ct (ou simplesmente t, se c=1). Sob uma transformação de Lorentz linear temos
x'^\mu \;=\;\Lambda^\mu_{\\ \nu}\,x^\nu,
logo o volume transforma-se segundo o determinante do jacobiano:
d^4x' \;=\;\bigl|\det\!\bigl(\partial x'^\mu/\partial x^\nu\bigr)\bigr|\;d^4x \;=\;|\det\Lambda|\;d^4x.

Passo 3

A definição de matriz de Lorentz é
\Lambda^\mathsf{T}\,\eta\,\Lambda \;=\;\eta,
com \eta=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1). Tomando determinantes em ambos os lados,
\det(\Lambda^\mathsf{T})\;\det(\eta)\;\det(\Lambda) \;=\;\det(\eta) \;\Longrightarrow\; (\det\Lambda)^2\;\det\eta \;=\;\det\eta.
Como \det\eta\neq0, deduzimos
(\det\Lambda)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad \det\Lambda=\pm1.
Para transformações de Lorentz próprias e orientadas no tempo (o grupo SO^+(1,3)), temos \det\Lambda=+1. Portanto
d^4x' \;=\;\det\Lambda\;d^4x \;=\;d^4x,
isto é, o elemento de volume em quatro dimensões é invariante.

Resposta

O elemento de volume d^4x=d^3\vec x\,dt é invariante sob transformações de Lorentz, pois para \Lambda\in SO^+(1,3) vale \det\Lambda=+1 e assim d^4x'=d^4x.

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