Esboce os gráficos das formas de onda não senoidais a seguir considerando que \alpha=\omega t seja a abscissa.
b) v=(\operatorname{sen} \alpha)^{2}

Passo 1

Temos a forma de onda
v(\alpha) = (\operatorname{sen} \alpha)^{2}
onde \alpha=\omega t. O conteúdo é análise de funções periódicas e vamos usar a identidade trigonométrica para facilitar o esboço.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}\!\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2},
que mostra que v(\alpha) é uma combinação da constante 1/2 e de um cosseno de frequência dupla.

Passo 3

Da identidade concluímos:
  • Valor médio de v é \tfrac12.
  • Amplitude do termo cosseno é \tfrac12.
  • Portanto v(\alpha) varia entre 0 e 1.

Passo 4

O termo \cos(2\alpha) tem período \pi. Logo v(\alpha) também terá período \pi, ou seja, repete seu padrão a cada \pi de \alpha.

Passo 5

Para esboçar basta marcar pontos-chave em um período [0,\pi]:
  • Em \alpha=0, \operatorname{sen}^{2}0=0.
  • Em \alpha=\frac{\pi}{4}, \operatorname{sen}^{2}\tfrac{\pi}{4}=(\tfrac{\sqrt2}{2})^{2}=\tfrac12.
  • Em \alpha=\frac{\pi}{2}, \operatorname{sen}^{2}\tfrac{\pi}{2}=1.
  • Em \alpha=\frac{3\pi}{4}, \operatorname{sen}^{2}\tfrac{3\pi}{4}=(\tfrac{\sqrt2}{2})^{2}=\tfrac12.
  • Em \alpha=\pi, \operatorname{sen}^{2}\pi=0.
Traçando suavemente esses pontos obtemos um “lóbulo” que sobe de 0 a 1 e volta a 0 em \pi, e a cada \pi repete.

Resposta

O gráfico de v=(\operatorname{sen} \alpha)^{2} é periódico de período \pi, varia entre 0 e 1, com forma de “lóbulo” senoidal positivo em cada intervalo [k\pi,(k+1)\pi], atingindo máximo 1 em \alpha=\tfrac{\pi}{2}+k\pi e zero em \alpha=k\pi.

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