Resolva a equação de Dirac para um poço de potencial atrativo de largura a e profundidade V_{0}.

Passo 1

O enunciado pede as soluções ligadas (bound states) da equação de Dirac unidimensional para um poço de potencial atraente de largura a e profundidade V_{0}. O conteúdo necessário inclui:
– A forma estacionária da eq. de Dirac unidimensional com potencial em degraus.
– A divisão em regiões de potencial constante (dentro e fora do poço).
– A resolução das duas componentes do espinor e o casamento de contornos.
– A obtenção da condição de quantização das energias via determinante zero.

Passo 2

Escrevemos a eq. de Dirac estacionária em 1D com unidades SI (incluindo \hbar e c), usando a representação
\alpha = \sigma_x,\quad \beta = \sigma_z,\quad \Psi(x)=\begin{pmatrix}\varphi(x)\\[4pt]\chi(x)\end{pmatrix},
de modo que
\bigl[-i\hbar c\,\sigma_x\partial_x + mc^2\,\sigma_z + V(x)\bigr]\Psi(x)=E\,\Psi(x).
Dividimos em três regiões:
– Região I ( x<0) e III ( x>a) onde V(x)=0.
– Região II ( 0\le x\le a) onde V(x)=-V_{0}.]

Passo 3

Nas regiões I e III ( V=0) procuramos estados ligados |E|<mc^2. Definimos
\kappa = \frac{1}{\hbar c}\sqrt{(mc^2)^2 - E^2}\quad(\kappa>0),
e as soluções gerais decaem exponencialmente:
\Psi_{\rm I}(x)=A\,e^{\kappa x}\begin{pmatrix}1\\[3pt]i\frac{\hbar c\,\kappa}{E+mc^2}\end{pmatrix},\quad x<0,
\Psi_{\rm III}(x)=B\,e^{-\kappa (x-a)}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-\,i\frac{\hbar c\,\kappa}{E+mc^2}\end{pmatrix},\quad x>a.]

Passo 4

Na região II ( V=-V_{0}) definimos
q = \frac{1}{\hbar c}\sqrt{(E+V_{0})^2 - (mc^2)^2},
e a solução é combinação de senos e cossenos:
\Psi_{\rm II}(x)=C\begin{pmatrix}\cos(qx)\\[3pt]i\,\frac{\hbar c\,q}{E+V_{0}+mc^2}\,\sin(qx)\end{pmatrix} + D\begin{pmatrix}\sin(qx)\\[3pt]-\,i\,\frac{\hbar c\,q}{E+V_{0}+mc^2}\,\cos(qx)\end{pmatrix}.]

Passo 5

Impondo continuidade de \Psi(x) em x=0 e em x=a obtemos um sistema homogêneo em A,C,D,B. A condição de existência de solução não-trivial é que o determinante desse sistema se anule. Ao separar as paridades (soluções pares e ímpares) chegamos às equações de quantização:
– Estados pares
\frac{\kappa\,(E+V_{0}+mc^2)}{q\,(mc^2 - E)} \;=\;\tan\!\Bigl(\tfrac{q\,a}{2}\Bigr).
– Estados ímpares
\frac{\kappa\,(E+V_{0}+mc^2)}{q\,(mc^2 - E)} \;=\;-\,\cot\!\Bigl(\tfrac{q\,a}{2}\Bigr).

Passo 6

Resumindo, as energias ligadas E satisfazem simultaneamente
q = \frac{1}{\hbar c}\sqrt{(E+V_{0})^2 - (mc^2)^2},\quad \kappa = \frac{1}{\hbar c}\sqrt{(mc^2)^2 - E^2},
e uma das condições transcendentais acima (par ou ímpar). Cada raiz real E dessas equações dá um nível ligado no poço.

Resposta

As energias ligadas vêm das soluções E de
q = \frac{1}{\hbar c}\sqrt{(E+V_{0})^2 - (mc^2)^2},\quad \kappa = \frac{1}{\hbar c}\sqrt{(mc^2)^2 - E^2},
juntamente com
\frac{\kappa\,(E+V_{0}+mc^2)}{q\,(mc^2 - E)} =\begin{cases} \tan\!\bigl(\tfrac{q\,a}{2}\bigr)\quad\text{(estados pares)},\\[6pt] -\,\cot\!\bigl(\tfrac{q\,a}{2}\bigr)\quad\text{(estados ímpares)}. \end{cases}í
A partir daí, resolve-se numericamente cada equação transcendente para obter os níveis de energia ligados.]

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