Resolva a equação de Dirac para um poço de potencial atrativo de largura a e profundidade
.
Passo 1
O enunciado pede as soluções ligadas (bound states) da equação de Dirac unidimensional para um poço de potencial atraente de largura
e profundidade
. O conteúdo necessário inclui:
– A forma estacionária da eq. de Dirac unidimensional com potencial em degraus.
– A divisão em regiões de potencial constante (dentro e fora do poço).
– A resolução das duas componentes do espinor e o casamento de contornos.
– A obtenção da condição de quantização das energias via determinante zero.
– A forma estacionária da eq. de Dirac unidimensional com potencial em degraus.
– A divisão em regiões de potencial constante (dentro e fora do poço).
– A resolução das duas componentes do espinor e o casamento de contornos.
– A obtenção da condição de quantização das energias via determinante zero.
Passo 2
Escrevemos a eq. de Dirac estacionária em
D com unidades SI (incluindo
e
), usando a representação
de modo que
Dividimos em três regiões:
– Região I ( ) e III (
) onde
.
– Região II ( ) onde
.]
– Região I (
– Região II (
Passo 3
Nas regiões I e III (
) procuramos estados ligados
. Definimos
e as soluções gerais decaem exponencialmente:
Passo 4
Na região II (
) definimos
e a solução é combinação de senos e cossenos:
Passo 5
Impondo continuidade de
em
e em
obtemos um sistema homogêneo em
. A condição de existência de solução não-trivial é que o determinante desse sistema se anule. Ao separar as paridades (soluções pares e ímpares) chegamos às equações de quantização:
– Estados pares
– Estados ímpares
Passo 6
Resumindo, as energias ligadas
satisfazem simultaneamente
e uma das condições transcendentais acima (par ou ímpar). Cada raiz real
dessas equações dá um nível ligado no poço.
Resposta
As energias ligadas vêm das soluções
de
juntamente com
A partir daí, resolve-se numericamente cada equação transcendente para obter os níveis de energia ligados.]