Um elétron está sujeito a um campo magnético uniforme B. Mostre que a frequência de precessão é
\omega_{L}=\frac{e B}{2 m}
Discuta a dependência com o campo e compare com o caso clássico.

Passo 1

O enunciado dá: um elétron está sujeito a um campo magnético uniforme B. Precisa-se mostrar que a frequência de precessão é
\omega_{L}=\frac{e B}{2 m},
discutir como ela depende do campo B e comparar com o caso clássico.
Informações relevantes fornecidas (diretas ou implícitas):
  • Há um elétron (massa m, carga com magnitude e; a carga real do elétron é -e, com e>0).
  • Campo magnético uniforme de módulo B.
  • Quer-se a frequência de precessão do momento angular/momento magnético.

Passo 2

Ligando momento angular e momento magnético (intuição e derivação simples).
  • Imagine uma carga q descrevendo uma órbita circular de raio r com velocidade tangencial v. O período é T=\dfrac{2\pi r}{v} e a corrente equivalente é
I=\frac{q}{T}=\frac{q v}{2\pi r}.
  • A área da órbita é A=\pi r^{2}. O momento magnético orbital (momento dipolar) é corrente vezes área:
\mu = I A = \frac{q v}{2\pi r}\cdot \pi r^{2}=\frac{q v r}{2}.
  • O momento angular orbital (magnitude) é
L = m v r.
  • Eliminando v r entre as duas expressões obtemos a relação clássica entre momento magnético e momento angular:
\mu = \frac{q}{2m}\,L.
Explicação das variáveis: q é a carga em movimento, m é a massa, v a velocidade tangencial, r o raio da órbita, I a corrente equivalente, A a área da órbita, \mu o momento magnético e L o momento angular.

Passo 3

Ação do campo magnético sobre o momento magnético: torque.
  • Um momento magnético \boldsymbol{\mu} em um campo magnético \mathbf{B} sofre um torque
\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}.
  • Para o caso orbital clássic,o esse torque causa variação do momento angular: \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}. Substituindo \boldsymbol{\mu}=\dfrac{q}{2m}\mathbf{L} obtemos
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{q}{2m}\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}.
  • Observação geométrica: o produto vetorial \mathbf{L}\times\mathbf{B} é perpendicular tanto a \mathbf{L} quanto a \mathbf{B}, portanto a variação do vetor \mathbf{L} é perpendicular a \mathbf{L}. Isso significa que o módulo de \mathbf{L} não muda: apenas sua direção gira — ou seja, \mathbf{L} precessa ao redor de \mathbf{B}.

Passo 4

Identificando a velocidade angular de precessão.
  • Uma equação do tipo
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{L}
descreve uma précessão de \mathbf{L} em torno do eixo \boldsymbol{\Omega} com velocidade angular |\boldsymbol{\Omega}|. Compare com a equação do passo anterior:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{q}{2m}\,\mathbf{L}\times\mathbf{B} = -\frac{q}{2m}\,\mathbf{B}\times\mathbf{L}.
  • Logo podemos identificar
\boldsymbol{\Omega}=-\frac{q}{2m}\,\mathbf{B}.
  • O módulo da velocidade angular de precessão é
\omega=\bigl|\boldsymbol{\Omega}\bigr|=\frac{|q|\,B}{2m}.
  • Para o elétron q=-e (com e>0), o módulo fica
\omega_{L}=\frac{e B}{2 m},
que é exatamente a expressão pedida. (O sinal negativo em q apenas inverte o sentido da precessão em relação à orientação do campo; o módulo da frequência usa a magnitude e.)

Passo 5

Discussão da dependência com o campo B.
  • A frequência \omega_{L} é diretamente proporcional a B: dobrando B dobra-se \omega_{L}. Portanto, a precessão é mais rápida com campos magnéticos mais fortes.
  • A dependência é linear porque o torque \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B} é linear em \mathbf{B} e a relação \boldsymbol{\mu}\propto\mathbf{L} introduz apenas constantes multiplicativas.

Passo 6

Comparação com o caso clássico de movimento circular (frequência ciclotrônica) e com a precessão do spin.
  • Frequência ciclotrônica (movimento de centro de massa de uma carga em campo B): pela força de Lorentz para movimento perpendicular a \mathbf{B},
m\frac{v^{2}}{r}=|q|vB \quad\Rightarrow\quad \omega_{c}=\frac{|q|B}{m}.
  • Relação entre as frequências:
\omega_{c}=\frac{|q|B}{m}=2\cdot\frac{|q|B}{2m}=2\omega_{L}.
Isto é, a frequência ciclotrônica é o dobro da frequência de pré-cessão de Larmor obtida a partir da relação \boldsymbol{\mu}=(q/2m)\mathbf{L}. Físico-intuitivamente: \omega_{c} é a frequência do movimento orbital (velocidade angular da partícula), enquanto \omega_{L} é a frequência com que o vetor momento angular (ou momento magnético) gira em torno do campo; a constante 1/2 vem da relação entre \mu e L.
  • No caso do spin intrínseco (quantum): o momento magnético de spin é
\boldsymbol{\mu}=g\frac{q}{2m}\,\mathbf{S},
onde g é o fator giromagnético. A equação de precessão dá então
\omega_{\text{spin}}=g\frac{|q|B}{2m}.
Para o elétron g\approx 2 (resultado de Dirac, com pequenas correções radiativas), então \omega_{\text{spin}}\approx \dfrac{eB}{m}, o que coincide numericamente com a frequência ciclotrônica. Assim, dependendo se se fala de momento orbital (Larmor com fator 1/2) ou de spin (fator g), a frequência difere; para o elétron o fator g faz com que a precessão do spin seja aproximadamente o dobro da precessão orbital.

Passo 7

Resumo final e nota prática.
  • Derivação completa mostrou que
\omega_{L}=\frac{eB}{2m}
para o elétron (magnitude). A dependência com B é linear. Em comparação, a frequência de ciclotron clássica é \omega_{c}=\dfrac{eB}{m}=2\omega_{L}. Para precessão de spin inclui-se o fator g: \omega_{\text{spin}}=g\dfrac{eB}{2m}, e para o elétron g\approx 2 levando \omega_{\text{spin}}\approx\omega_{c}.

Resposta

\omega_{L}=\dfrac{eB}{2m}
Dependência: \omega_{L} é linear em B.
Comparação clássica: frequência ciclotrônica \omega_{c}=\dfrac{eB}{m}=2\omega_{L}; para o spin \omega_{\text{spin}}=g\dfrac{eB}{2m} e, com g\approx2 para o elétron, \omega_{\text{spin}}\approx\dfrac{eB}{m}.

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