Uma empresa acompanha a receita gerada por um cliente recorrente. O cliente realiza uma compra inicial de
100
10 %$ em relação ao mês anterior.
Os dados dos cinco primeiros meses foram:
(a) Modele a evolução da receita mensal como uma sequência recorrente.
(b) Obtenha a fórmula geral
.
(c) Calcule a receita total acumulada após 12 meses.
Os dados dos cinco primeiros meses foram:
(b) Obtenha a fórmula geral
(c) Calcule a receita total acumulada após 12 meses.
Passo 1
O enunciado nos diz que um cliente gasta inicialmente
em
e a cada mês ele aumenta o gasto em
em relação ao mês anterior. O conteúdo aqui é sequência recorrente (ou progressão geométrica) e soma de termos de progressão geométrica. Vamos:
- Modelar a relação entre termos (recorrência).
- Encontrar a fórmula geral de
. - Calcular a soma dos 12 primeiros termos.
Passo 2
Como a cada mês o valor cresce
, isto é, é multiplicado por
, resulta a recorrência
com valor inicial
Passo 3
Uma progressão geométrica definida por
e
tem fórmula geral
Aqui
e
, então
Passo 4
A receita total acumulada em 12 meses é
Para a soma dos
termos de uma progressão geométrica usamos a fórmula
Como
, temos
Calculando numericamente
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)