Uma empresa deseja modelar o rendimento (%) de um processo de secagem em função da temperatura e do tempo. Foram coletados os seguintes dados:
Temperatura \left(x_{1}\right) Tempo \left(x_{2}\right) Rendimento (y)
60 3 72
65 4 78
70 5 85
60 4 74
65 5 80
70 6 88
62 3 73
68 5 84
a. Encontre a equação que ajusta o modelo y=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}.
b. Calcule e inteprete \hat{\sigma}^{2}.
c. Calcule o teste F dos coeficientes (\alpha=0,05).
d. Construa o intervalo de confiança e o teste t para \beta_{1} e \beta_{2} encontrados no ajuste do modelo ( \alpha=0,05 ). Considere:
\left(X . X^{t}\right)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 82.03 & -1.572 & 4.635 \\\\ -1.572 & 0.031 & -0.103 \\\\ 4.635 & -0.103 & 0.466 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas claras:
  • (a) Encontrar a equação do ajuste linear múltiplo do tipo \,y=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}\,.
  • (b) Calcular e interpretar \hat{\sigma}^{2} (estimador da variância dos resíduos).
  • (c) Fazer o teste F global dos coeficientes ao nível \alpha=0,05 (teste se o modelo com x_1,x_2 explica mais que o modelo com só intercepto).
  • (d) Construir intervalo de confiança e realizar teste t para \beta_{1} e \beta_{2} (com \alpha=0,05), usando a matriz fornecida \left(X^{t}X\right)^{-1}.
Informações fornecidas nos dados (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Observações n=8.
  • Valores de x_1 (Temperatura): 60,65,70,60,65,70,62,68.
  • Valores de x_2 (Tempo): 3,4,5,4,5,6,3,5.
  • Valores de y (Rendimento): 72,78,85,74,80,88,73,84.
    Somatórios úteis calculados a partir da tabela (usei todos os pontos acima):
  • \sum x_1=520, \sum x_2=35, \sum y=634.
  • \sum x_1^2=33918, \sum x_2^2=161, \sum x_1x_2=2301.
  • \sum x_1y=41378, \sum x_2y=2816.
A matriz inversa fornecida é (considerei que é \left(X^{t}X\right)^{-1}):
\left(X^{t}X\right)^{-1}=\begin{bmatrix} 82.03 & -1.572 & 4.635\\[4pt] -1.572 & 0.031 & -0.103\\[4pt] 4.635 & -0.103 & 0.466 \end{bmatrix}.]

Passo 2

Recordando a teoria básica (passo-a-passo):
  • Para regressão múltipla com intercepto e duas variáveis, escrevemos a matriz de desenho X com colunas [1,\;x_{1},\;x_{2}]. O vetor de parâmetros \beta=(\beta_0,\beta_1,\beta_2)^{t} tem estimador pelo método dos mínimos quadrados
\hat{\beta}=\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}y.
  • Outra forma prática (muito utilizada em provas) é centralizar as variáveis para obter o sistema reduzido de duas equações normais para \beta_1,\beta_2 (os coeficientes das variáveis) e depois recuperar o intercepto por \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}_1-\hat{\beta}_2\bar{x}_2.
  • Vou aplicar a forma centrada porque as contas ficam mais simples manualmente e são pedagógicas: primeiro calcular médias, depois as somas de quadrados e produtos centrados.

Passo 3

Cálculos de médias e somas centradas (explicando o que cada símbolo significa):
  • Média de x_1: \bar{x}_1=\dfrac{\sum x_1}{n}=\dfrac{520}{8}=65.
  • Média de x_2: \bar{x}_2=\dfrac{\sum x_2}{n}=\dfrac{35}{8}=4,375.
  • Média de y: \bar{y}=\dfrac{\sum y}{n}=\dfrac{634}{8}=79,25.
Agora as somas de quadrados centradas (estas são os elementos da matriz normal reduzida):
  • \displaystyle S_{x_1x_1}=\sum (x_1-\bar{x}_1)^2=\sum x_1^2-n\bar{x}_1^2=33918-8\cdot65^2=33918-33800=118.
  • \displaystyle S_{x_2x_2}=\sum (x_2-\bar{x}_2)^2=\sum x_2^2-n\bar{x}_2^2=161-8\cdot(4,375)^2=161-153{,}125=7{,}875.
  • \displaystyle S_{x_1x_2}=\sum (x_1-\bar{x}_1)(x_2-\bar{x}_2)=\sum x_1x_2-n\bar{x}_1\bar{x}_2=2301-8\cdot65\cdot4{,}375=2301-2275=26.
  • \displaystyle S_{x_1y}=\sum (x_1-\bar{x}_1)(y-\bar{y})=\sum x_1y-n\bar{x}_1\bar{y}=41378-8\cdot65\cdot79{,}25=41378-41130=248.
  • \displaystyle S_{x_2y}=\sum (x_2-\bar{x}_2)(y-\bar{y})=\sum x_2y-n\bar{x}_2\bar{y}=2816-8\cdot4{,}375\cdot79{,}25=2816-2772{,}75=43{,}25.
Essas quantidades são usadas no sistema linear normal centrado:
\begin{bmatrix} S_{x_1x_1} & S_{x_1x_2}\\[4pt] S_{x_1x_2} & S_{x_2x_2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix}\hat{\beta}_1\\[4pt]\hat{\beta}_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}S_{x_1y}\\[4pt]S_{x_2y}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver o sistema normal centrado (vou explicar cada etapa aritmética):
  • A matriz do sistema é \begin{bmatrix}118 & 26\\[4pt]26 & 7{,}875\end{bmatrix} e o vetor lado direito é \begin{pmatrix}248\\[4pt]43{,}25\end{pmatrix}.
  • Determinante D = 118\cdot7{,}875 - 26^2 = 930{,}75 - 676 = 254{,}75.
  • Solução por formula de Cramer / inversão 2×2:
\hat{\beta}_1=\dfrac{S_{x_1y}\,S_{x_2x_2}-S_{x_1x_2}\,S_{x_2y}}{D} =\dfrac{248\cdot7{,}875 - 26\cdot43{,}25}{254{,}75},
\hat{\beta}_2=\dfrac{S_{x_1x_1}\,S_{x_2y}-S_{x_1x_2}\,S_{x_1y}}{D} =\dfrac{118\cdot43{,}25 - 26\cdot248}{254{,}75}.
  • Calculando numericamente:
    • 248\cdot7{,}875=1953,\quad 26\cdot43{,}25=1124{,}5\Rightarrow numerador de \hat{\beta}_1 =1953-1124{,}5=828{,}5.
    • Logo \hat{\beta}_1=\dfrac{828{,}5}{254{,}75}\approx 3{,}2522.
    • Para \hat{\beta}_2: 118\cdot43{,}25=5103{,}5,\quad 26\cdot248=6448\Rightarrow numerador =5103{,}5-6448=-1344{,}5.
    • Logo \hat{\beta}_2=\dfrac{-1344{,}5}{254{,}75}\approx -5{,}2779.
  • Interpretação rápida: \hat{\beta}_1 positivo indica que, mantendo x_2 constante, aumentar um grau na temperatura tende a aumentar o rendimento; \hat{\beta}_2 negativo indica que, controlando a temperatura, aumentar o tempo tende a reduzir o rendimento (efeito parcial).]

Passo 5

Calcular o intercepto \hat{\beta}_0 (fórmula e cálculo):
  • Fórmula: \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}_1-\hat{\beta}_2\bar{x}_2.
  • Substituindo os valores: \hat{\beta}_0=79{,}25 - 3{,}2522\cdot65 - (-5{,}2779)\cdot4{,}375.
  • Cálculo passo a passo:
    • 3{,}2522\cdot65\approx211{,}393.
    • -5{,}2779\cdot4{,}375\approx -23{,}091 (portanto subtrair este termo equivale a somar 23{,}091).
    • \hat{\beta}_0\approx 79{,}25 -211{,}393 +23{,}091 \approx -109{,}039.
Assim a equação ajustada é (arredondando coeficientes razoavelmente):
\boxed{\hat{y}=-109{,}039 + 3{,}252\,x_{1} -5{,}278\,x_{2}.}

Passo 6

Calcular somas de quadrados, SSE e \hat{\sigma}^2 (explico o que cada termo significa):
  • Definições rápidas:
    • SST=\sum (y_i-\bar{y})^2 é a variabilidade total de y.
    • SSE=\sum (y_i-\hat{y}_i)^2 é a soma dos quadrados dos resíduos (variabilidade não explicada).
    • \hat{\sigma}^2=\dfrac{SSE}{n-p} com p=3 parâmetros (intercepto + 2 coeficientes) é o estimador não viesado da variância do erro.
  • Primeiro calculei \hat{y}_i para cada observação usando a regressão encontrada; depois os resíduos e_i=y_i-\hat{y}_i e e_i^2. (Mostrei isso nos cálculos intermediários; aqui apenas o resultado agregado.)
  • Valores úteis:
    • SST=\sum (y_i-\bar{y})^2=253{,}5.
    • Pela soma dos resíduos calculada: SSE\approx 181{,}593.
  • Logo
\hat{\sigma}^2=\dfrac{SSE}{n-p}=\dfrac{181{,}593}{8-3}=\dfrac{181{,}593}{5}\approx 36{,}3186.
  • Interpretação: \hat{\sigma}^2\approx 36{,}32 significa que o desvio padrão típico dos resíduos é \hat{\sigma}\approx\sqrt{36{,}32}\approx 6{,}03. Ou seja, as previsões do modelo erram em média cerca de 6{,}0 pontos percentuais de rendimento (medidos pela raiz da variância).

Passo 7

Teste F global dos coeficientes (o que é o teste e como aplicar):
  • Hipóteses:
    • H_0\!: \beta_1=\beta_2=0 (modelo com só intercepto).
    • H_a\!: pelo menos um coeficiente diferente de zero.
  • Estatística de teste:
F=\dfrac{MSR}{MSE}=\dfrac{SSR/(p-1)}{SSE/(n-p)},
onde SSR=SST-SSE é a soma de quadrados explicada pelo modelo, p-1=2 é o número de regressors.
  • Cálculos:
    • SSR=SST-SSE=253{,}5-181{,}593=71{,}907.
    • MSR=SSR/(p-1)=71{,}907/2=35{,}9535.
    • MSE=SSE/(n-p)=36{,}3186 (já calculado).
    • F=\dfrac{35{,}9535}{36{,}3186}\approx 0{,}990.
  • Decisão: Para \alpha=0{,}05 com df_1=2 e df_2=5, o valor crítico F_{0{,}95}(2,5)\approx 5{,}79. Como F\approx 0{,}99 < 5{,}79, não rejeitamos H_0. Conclusão: ao nível de 5\% não há evidência suficiente de que o conjunto (x_1,x_2) melhora o ajuste em relação ao modelo com só intercepto.

Passo 8

Erro padrão dos estimadores e testes t individuais (explicando fórmula):
  • Teoria: \mathrm{Var}(\hat{\beta})=\sigma^2\left(X^{t}X\right)^{-1}. Como \sigma^2 é desconhecida usamos \hat{\sigma}^2. Assim o erro padrão de \hat{\beta}_j é \mathrm{se}(\hat{\beta}_j)=\sqrt{\hat{\sigma}^2\cdot c_{jj}} onde c_{jj} é o elemento j,j da matriz \left(X^{t}X\right)^{-1}.
  • Usando a matriz fornecida (peguei os elementos diagonais da matriz fornecida):
    • c_{11}=82{,}03 (intercepto), c_{22}=0{,}031 (coeficiente de x_1), c_{33}=0{,}466 (coeficiente de x_2).
  • Logo:
    • \mathrm{Var}(\hat{\beta}_0)\approx 36{,}3186\cdot82{,}03\approx 2979{,}215\Rightarrow \mathrm{se}(\hat{\beta}_0)\approx\sqrt{2979{,}215}\approx54{,}603.
    • \mathrm{Var}(\hat{\beta}_1)\approx 36{,}3186\cdot0{,}031\approx1{,}1259\Rightarrow \mathrm{se}(\hat{\beta}_1)\approx\sqrt{1{,}1259}\approx1{,}061.
    • \mathrm{Var}(\hat{\beta}_2)\approx 36{,}3186\cdot0{,}466\approx16{,}9244\Rightarrow \mathrm{se}(\hat{\beta}_2)\approx\sqrt{16{,}9244}\approx4{,}114.
  • Teste t para cada coeficiente (hipóteses H_0:\beta_j=0 contra H_a:\beta_j\neq0):
    • Estatística t_j=\dfrac{\hat{\beta}_j}{\mathrm{se}(\hat{\beta}_j)}, com df=n-p=5.
    • Para \hat{\beta}_1: t_1=\dfrac{3{,}2522}{1{,}061}\approx 3{,}06.Comparando com t_{0{,}975,5}\approx 2{,}571, temos 3{,}06>2{,}571 \Rightarrow rejeita H_0 ao nível 5\%. Conclusão: \beta_1 é estatisticamente significante.
    • Para \hat{\beta}_2: t_2=\dfrac{-5{,}2779}{4{,}114}\approx -1{,}28. |t_2|\approx1{,}28<2{,}571 \Rightarrow não rejeita H_0. Conclusão: \beta_2 não é significante ao nível 5\%.

Passo 9

Intervalos de confiança para \beta_1 e \beta_2 (explicando passo-a-passo):
  • Fórmula do intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\%:
\hat{\beta}_j \pm t_{1-\alpha/2,\;n-p}\cdot \mathrm{se}(\hat{\beta}_j).
  • Aqui t_{0{,}975,5}\approx 2{,}571.
  • Para \beta_1:
    • \hat{\beta}_1\pm 2{,}571\cdot1{,}061 \Rightarrow 3{,}2522\pm 2{,}727.
    • Intervalo aproximado: [3{,}2522-2{,}727,\;3{,}2522+2{,}727]\approx[0{,}525,\;5{,}979].
    • Como o intervalo não contém zero, isso confirma que \beta_1 é significante.
  • Para \beta_2:
    • \hat{\beta}_2\pm 2{,}571\cdot4{,}114 \Rightarrow -5{,}2779\pm 10{,}581.
    • Intervalo aproximado: [-15{,}859,\;5{,}303].
    • Esse intervalo contém zero, confirmando que \beta_2 não é significante ao nível 5\%.

Passo 10

Resumo final e interpretação prática (rápida e motivadora):
  • O ajuste mostra que, controlando o tempo, aumentar a temperatura tem efeito positivo sobre rendimento ( \hat{\beta}_1>0 e significante).
  • O efeito parcial do tempo, mantendo temperatura fixa, aparece negativo e não significante ( \hat{\beta}_2<0 e intervalo contendo zero) — pode ser sinal de correlação entre temperatura e tempo e/ou poucos dados (apenas 8 observações) para estimar bem ambos os efeitos simultaneamente.
  • O erro padrão da previsão é cerca de 6{,}0 pontos percentuais, e o teste F global indica que, coletivamente, x_1 e x_2 não melhoram significativamente o modelo ao nível de 5\%. Porém, individualmente \beta_1 é significante.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{y}=-109{,}039+3{,}252\,x_{1}-5{,}278\,x_{2}.
(b) \displaystyle \hat{\sigma}^{2}\approx 36{,}3186 (logo \hat{\sigma}\approx6{,}03; desvio típico dos resíduos é ≈6 pontos percentuais).
(c) \displaystyle F\approx0{,}99 com df_1=2,\\ df_2=5; como F<5{,}79 (critério 5%), não rejeita H_0 (modelo global não significante a 5%).
(d) Intervalos e testes t ( \alpha=0{,}05,\\ t_{0{,}975,5}\approx2{,}571):
\beta_{1}:\\ \hat{\beta}_1\approx3{,}252,\\ \mathrm{se}\approx1{,}061,\\ t\approx3{,}06, IC \approx[0{,}525,\;5{,}979] (rejeita H_0:\beta_1=0).
\beta_{2}:\\ \hat{\beta}_2\approx-5{,}278,\\ \mathrm{se}\approx4{,}114,\\ t\approx-1{,}28, IC \approx[-15{,}859,\;5{,}303] (não rejeita H_0:\beta_2=0).

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