Uma empresa deseja modelar o rendimento (%) de um processo de secagem em função da temperatura e do tempo. Foram coletados os seguintes dados:
Temperatura \left(x_{1}\right)
Tempo \left(x_{2}\right)
Rendimento (y)
60
3
72
65
4
78
70
5
85
60
4
74
65
5
80
70
6
88
62
3
73
68
5
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a. Encontre a equação que ajusta o modelo y=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}.
b. Calcule e inteprete \hat{\sigma}^{2}.
c. Calcule o teste F dos coeficientes (\alpha=0,05).
d. Construa o intervalo de confiança e o teste t para \beta_{1} e \beta_{2} encontrados no ajuste do modelo ( \alpha=0,05 ). Considere:
(a) Encontrar a equação do ajuste linear múltiplo do tipo \,y=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}\,.
(b) Calcular e interpretar \hat{\sigma}^{2} (estimador da variância dos resíduos).
(c) Fazer o teste F global dos coeficientes ao nível \alpha=0,05 (teste se o modelo com x_1,x_2 explica mais que o modelo com só intercepto).
(d) Construir intervalo de confiança e realizar teste t para \beta_{1} e \beta_{2} (com \alpha=0,05), usando a matriz fornecida \left(X^{t}X\right)^{-1}.
Informações fornecidas nos dados (peguei estes números da tabela do enunciado):
Observações n=8.
Valores de x_1 (Temperatura): 60,65,70,60,65,70,62,68.
Valores de x_2 (Tempo): 3,4,5,4,5,6,3,5.
Valores de y (Rendimento): 72,78,85,74,80,88,73,84.
Somatórios úteis calculados a partir da tabela (usei todos os pontos acima):
Para regressão múltipla com intercepto e duas variáveis, escrevemos a matriz de desenho X com colunas [1,\;x_{1},\;x_{2}]. O vetor de parâmetros \beta=(\beta_0,\beta_1,\beta_2)^{t} tem estimador pelo método dos mínimos quadrados
\hat{\beta}=\left(X^{t}X\right)^{-1}X^{t}y.
Outra forma prática (muito utilizada em provas) é centralizar as variáveis para obter o sistema reduzido de duas equações normais para \beta_1,\beta_2 (os coeficientes das variáveis) e depois recuperar o intercepto por \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}_1-\hat{\beta}_2\bar{x}_2.
Vou aplicar a forma centrada porque as contas ficam mais simples manualmente e são pedagógicas: primeiro calcular médias, depois as somas de quadrados e produtos centrados.
Passo 3
Cálculos de médias e somas centradas (explicando o que cada símbolo significa):
Média de x_1: \bar{x}_1=\dfrac{\sum x_1}{n}=\dfrac{520}{8}=65.
Média de x_2: \bar{x}_2=\dfrac{\sum x_2}{n}=\dfrac{35}{8}=4,375.
Média de y: \bar{y}=\dfrac{\sum y}{n}=\dfrac{634}{8}=79,25.
Agora as somas de quadrados centradas (estas são os elementos da matriz normal reduzida):
248\cdot7{,}875=1953,\quad 26\cdot43{,}25=1124{,}5\Rightarrow numerador de \hat{\beta}_1=1953-1124{,}5=828{,}5.
Logo \hat{\beta}_1=\dfrac{828{,}5}{254{,}75}\approx 3{,}2522.
Para \hat{\beta}_2: 118\cdot43{,}25=5103{,}5,\quad 26\cdot248=6448\Rightarrow numerador =5103{,}5-6448=-1344{,}5.
Logo \hat{\beta}_2=\dfrac{-1344{,}5}{254{,}75}\approx -5{,}2779.
Interpretação rápida: \hat{\beta}_1 positivo indica que, mantendo x_2 constante, aumentar um grau na temperatura tende a aumentar o rendimento; \hat{\beta}_2 negativo indica que, controlando a temperatura, aumentar o tempo tende a reduzir o rendimento (efeito parcial).]
Passo 5
Calcular o intercepto \hat{\beta}_0 (fórmula e cálculo):
Calcular somas de quadrados, SSE e \hat{\sigma}^2 (explico o que cada termo significa):
Definições rápidas:
SST=\sum (y_i-\bar{y})^2 é a variabilidade total de y.
SSE=\sum (y_i-\hat{y}_i)^2 é a soma dos quadrados dos resíduos (variabilidade não explicada).
\hat{\sigma}^2=\dfrac{SSE}{n-p} com p=3 parâmetros (intercepto + 2 coeficientes) é o estimador não viesado da variância do erro.
Primeiro calculei \hat{y}_i para cada observação usando a regressão encontrada; depois os resíduos e_i=y_i-\hat{y}_i e e_i^2. (Mostrei isso nos cálculos intermediários; aqui apenas o resultado agregado.)
Valores úteis:
SST=\sum (y_i-\bar{y})^2=253{,}5.
Pela soma dos resíduos calculada: SSE\approx 181{,}593.
Interpretação: \hat{\sigma}^2\approx 36{,}32 significa que o desvio padrão típico dos resíduos é \hat{\sigma}\approx\sqrt{36{,}32}\approx 6{,}03. Ou seja, as previsões do modelo erram em média cerca de 6{,}0 pontos percentuais de rendimento (medidos pela raiz da variância).
Passo 7
Teste F global dos coeficientes (o que é o teste e como aplicar):
Hipóteses:
H_0\!: \beta_1=\beta_2=0 (modelo com só intercepto).
H_a\!: pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Estatística de teste:
F=\dfrac{MSR}{MSE}=\dfrac{SSR/(p-1)}{SSE/(n-p)},
onde SSR=SST-SSE é a soma de quadrados explicada pelo modelo, p-1=2 é o número de regressors.
Cálculos:
SSR=SST-SSE=253{,}5-181{,}593=71{,}907.
MSR=SSR/(p-1)=71{,}907/2=35{,}9535.
MSE=SSE/(n-p)=36{,}3186 (já calculado).
F=\dfrac{35{,}9535}{36{,}3186}\approx 0{,}990.
Decisão: Para \alpha=0{,}05 com df_1=2 e df_2=5, o valor crítico F_{0{,}95}(2,5)\approx 5{,}79. Como F\approx 0{,}99 < 5{,}79, não rejeitamos H_0. Conclusão: ao nível de 5\% não há evidência suficiente de que o conjunto (x_1,x_2) melhora o ajuste em relação ao modelo com só intercepto.
Passo 8
Erro padrão dos estimadores e testes t individuais (explicando fórmula):
Teoria: \mathrm{Var}(\hat{\beta})=\sigma^2\left(X^{t}X\right)^{-1}. Como \sigma^2 é desconhecida usamos \hat{\sigma}^2. Assim o erro padrão de \hat{\beta}_j é \mathrm{se}(\hat{\beta}_j)=\sqrt{\hat{\sigma}^2\cdot c_{jj}} onde c_{jj} é o elemento j,j da matriz \left(X^{t}X\right)^{-1}.
Usando a matriz fornecida (peguei os elementos diagonais da matriz fornecida):
c_{11}=82{,}03 (intercepto), c_{22}=0{,}031 (coeficiente de x_1), c_{33}=0{,}466 (coeficiente de x_2).
Teste t para cada coeficiente (hipóteses H_0:\beta_j=0 contra H_a:\beta_j\neq0):
Estatística t_j=\dfrac{\hat{\beta}_j}{\mathrm{se}(\hat{\beta}_j)}, com df=n-p=5.
Para \hat{\beta}_1:t_1=\dfrac{3{,}2522}{1{,}061}\approx 3{,}06.Comparando com t_{0{,}975,5}\approx 2{,}571, temos 3{,}06>2{,}571\Rightarrow rejeita H_0 ao nível 5\%. Conclusão: \beta_1 é estatisticamente significante.
Para \hat{\beta}_2:t_2=\dfrac{-5{,}2779}{4{,}114}\approx -1{,}28.|t_2|\approx1{,}28<2{,}571\Rightarrow não rejeita H_0. Conclusão: \beta_2 não é significante ao nível 5\%.
Passo 9
Intervalos de confiança para \beta_1 e \beta_2 (explicando passo-a-passo):
Fórmula do intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\%:
Esse intervalo contém zero, confirmando que \beta_2 não é significante ao nível 5\%.
Passo 10
Resumo final e interpretação prática (rápida e motivadora):
O ajuste mostra que, controlando o tempo, aumentar a temperatura tem efeito positivo sobre rendimento (\hat{\beta}_1>0 e significante).
O efeito parcial do tempo, mantendo temperatura fixa, aparece negativo e não significante (\hat{\beta}_2<0 e intervalo contendo zero) — pode ser sinal de correlação entre temperatura e tempo e/ou poucos dados (apenas 8 observações) para estimar bem ambos os efeitos simultaneamente.
O erro padrão da previsão é cerca de 6{,}0 pontos percentuais, e o teste F global indica que, coletivamente, x_1 e x_2 não melhoram significativamente o modelo ao nível de 5\%. Porém, individualmente \beta_1 é significante.
Resposta
(a) \displaystyle \hat{y}=-109{,}039+3{,}252\,x_{1}-5{,}278\,x_{2}.
(b) \displaystyle \hat{\sigma}^{2}\approx 36{,}3186 (logo \hat{\sigma}\approx6{,}03; desvio típico dos resíduos é ≈6 pontos percentuais).
(c) \displaystyle F\approx0{,}99 com df_1=2,\\ df_2=5; como F<5{,}79 (critério 5%), não rejeita H_0 (modelo global não significante a 5%).
(d) Intervalos e testes t (\alpha=0{,}05,\\ t_{0{,}975,5}\approx2{,}571): \beta_{1}:\\ \hat{\beta}_1\approx3{,}252,\\ \mathrm{se}\approx1{,}061,\\ t\approx3{,}06, IC \approx[0{,}525,\;5{,}979] (rejeita H_0:\beta_1=0). \beta_{2}:\\ \hat{\beta}_2\approx-5{,}278,\\ \mathrm{se}\approx4{,}114,\\ t\approx-1{,}28, IC \approx[-15{,}859,\;5{,}303] (não rejeita H_0:\beta_2=0).