Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Supondo que 1 \% das pastilhas fabricadas pelo processo atual apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste, qual é a probabilidade, em uma amostra aleatória com 10.000 pastilhas, de serem encontradas 85 ou menos pastilhas com problemas? (Resposta: \cong 0,07 )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: a taxa de pastilhas com desempenho deficiente é 1\%, ou seja p=0,01.
  • Dado: amostra aleatória de n=10000 pastilhas.
  • Variável de interesse: seja X o número de pastilhas com problema na amostra. Assim X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p: X\sim\mathrm{Bin}(n,p).
  • Pedido: calcular a probabilidade de encontrar 85 ou menos pastilhas com problemas, ou seja P(X\le 85).
    A resposta indicada no enunciado é aproximadamente 0,07. Vamos mostrar passo a passo como obter esse valor.

Passo 2

Entender a distribuição binomial e suas características básicas.
  • Definição: para X\sim\mathrm{Bin}(n,p), a probabilidade exata é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},\qquad k=0,1,\dots,n.
  • Médias e variância: a esperança (média) e a variância da binomial são
\mathbb{E}[X]=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p).
  • Vamos calcular esses valores com nossos números:
\mathbb{E}[X]=np=10000\cdot 0,01=100,
\mathrm{Var}(X)=10000\cdot 0,01\cdot(1-0,01)=100\cdot 0,99=99.
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{99}\approx 9,949874.

Passo 3

Por que não calcular P(X\le 85) exatamente com a fórmula binomial?
  • Para n grande (aqui n=10000) o cálculo direto de somas de termos binomiais é pesado sem computador.
  • Há um resultado prático: quando n é grande e p não é extremo, a distribuição binomial pode ser aproximada pela normal graças ao Teorema Central do Limite. Uma regra prática é que tanto np quanto n(1-p) devam ser razoavelmente grandes (por exemplo \ge 5 ou \ge 10); aqui np=100 e n(1-p)=9900 são grandes, portanto a aproximação normal é adequada.
  • Como X é discreta e a normal é contínua, usa-se a correção de continuidade para melhorar a aproximação ao calcular P(X\le k): substitui-se por P(Y\le k+0,5) onde Y é normal com mesma média e variância.

Passo 4

Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade.
  • Substituição:
P(X\le 85)\approx P\bigl(Y\le 85,5\bigr),
onde Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) com \mu=\mathbb{E}[X]=100 e \sigma=\sqrt{99}\approx 9,949874.
  • Padronizar para a normal padrão Z\sim N(0,1). A transformação é
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}.
Logo
P\bigl(Y\le 85,5\bigr)=P\!\left(Z\le \frac{85,5-100}{\sqrt{99}}\right).
  • Calcular o numerador e a divisão:
85,5-100=-14,5,
\frac{-14,5}{\sqrt{99}}\approx\frac{-14,5}{9,949874}\approx -1,457.
Portanto
P(X\le 85)\approx P(Z\le -1,457).

Passo 5

Calcular P(Z\le -1,457) usando a tabela da normal padrão (ou calculadora).
  • Relação útil: como a função de distribuição da normal é simétrica, temos
P(Z\le -1,457)=1-P(Z\le 1,457).
  • Usando uma tabela da normal padrão: valores típicos da tabela dão
P(Z\le 1,45)=0,9265,\qquad P(Z\le 1,46)=0,9279.
  • Interpolando para 1,457 (que está 0{,}007 acima de 1{,}45, ou seja 0{,}7 da distância até 1{,}46):
P(Z\le 1,457)\approx 0,9265 + 0,7\cdot(0,9279-0,9265)=0,9265+0,00098\approx 0,92748.
  • Então
P(Z\le -1,457)=1-0,92748\approx 0,07252.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final.
  • O valor obtido pela aproximação normal com correção de continuidade é aproximadamente 0,0725, que arredondado para duas casas decimais é 0,07, conforme indicado no enunciado.
  • Observação prática: sem a correção de continuidade o valor seria um pouco diferente (menor), por isso a correção é recomendada quando se aproxima binomial por normal em questões de contagem.

Resposta

P(X\le 85)\approx 0,0725\\ \approx 0,07