Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Supondo que
das pastilhas fabricadas pelo processo atual apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste, qual é a probabilidade, em uma amostra aleatória com 10.000 pastilhas, de serem encontradas 85 ou menos pastilhas com problemas? (Resposta:
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dado: a taxa de pastilhas com desempenho deficiente é
, ou seja . - Dado: amostra aleatória de
pastilhas. - Variável de interesse: seja
o número de pastilhas com problema na amostra. Assim segue uma distribuição binomial com parâmetros e : . - Pedido: calcular a probabilidade de encontrar
ou menos pastilhas com problemas, ou seja .
A resposta indicada no enunciado é aproximadamente. Vamos mostrar passo a passo como obter esse valor.
Passo 2
Entender a distribuição binomial e suas características básicas.
- Definição: para
, a probabilidade exata é dada por
- Médias e variância: a esperança (média) e a variância da binomial são
- Vamos calcular esses valores com nossos números:
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Por que não calcular
exatamente com a fórmula binomial?
- Para
grande (aqui ) o cálculo direto de somas de termos binomiais é pesado sem computador. - Há um resultado prático: quando
é grande e não é extremo, a distribuição binomial pode ser aproximada pela normal graças ao Teorema Central do Limite. Uma regra prática é que tanto quanto devam ser razoavelmente grandes (por exemplo ou ); aqui e são grandes, portanto a aproximação normal é adequada. - Como
é discreta e a normal é contínua, usa-se a correção de continuidade para melhorar a aproximação ao calcular : substitui-se por onde é normal com mesma média e variância.
Passo 4
Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade.
- Substituição:
onde
com
e
.
- Padronizar para a normal padrão
. A transformação é
Logo
- Calcular o numerador e a divisão:
Portanto
Passo 5
Calcular
usando a tabela da normal padrão (ou calculadora).
- Relação útil: como a função de distribuição da normal é simétrica, temos
- Usando uma tabela da normal padrão: valores típicos da tabela dão
- Interpolando para
(que está acima de , ou seja da distância até ):
- Então
Passo 6
Interpretação e arredondamento final.
- O valor obtido pela aproximação normal com correção de continuidade é aproximadamente
, que arredondado para duas casas decimais é , conforme indicado no enunciado. - Observação prática: sem a correção de continuidade o valor seria um pouco diferente (menor), por isso a correção é recomendada quando se aproxima binomial por normal em questões de contagem.