Uma empresa possui N sinais de informação que precisam ser transmitidos mutuamente: 1 / 2 dos sinais via \mathrm{DSB}+\mathrm{C}, 1 / 4 via \mathrm{DSB}-\mathrm{SC} e 1 / 4 via SSB . Todos os sinais de informações possuem a mesma largura de de banda base de 10 kHz . A empresa alugou um canal de comunicação que vai de 800 kHz à 1 MHz .
(a) ( 0,75 pontos) Quantos sinais de informação a empresa pode transmitir?
(b) ( 1,25 pontos) Determine as larguras de bandas e possíveis frequências centrais de cada sinal modulado dentro do canal disponível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Canal disponível: de 800\\ \text{kHz} até 1\\ \text{MHz}.
  • Largura total do canal disponível: vamos calcular depois (é a diferença entre 1\\ \text{MHz} e 800\\ \text{kHz}).
  • Cada sinal de informação tem largura de banda base de 10\\ \text{kHz}.
  • Frações de como os N sinais serão modulados:
    • 1/2 dos sinais via DSB+C,
    • 1/4 dos sinais via DSB-SC,
    • 1/4 dos sinais via SSB.
  • Perguntas:
    (a) Quantos sinais de informação a empresa pode transmitir no canal alugado?
    (b) Determine as larguras de banda de cada tipo de sinal e proponha possíveis frequências centrais ( f_c) para cada sinal modulado dentro do canal disponível.

Passo 2

Conceitos essenciais (aula rápida e prática) — como cada modulação ocupa espectro:
  • Largura de banda base: denote-a por B. Aqui B = 10\\ \text{kHz}.
  • DSB (double sideband), tanto com portadora (DSB+C) quanto suprimida (DSB-SC), ocupa duas bandas laterais simétricas em torno da portadora. Portanto: \text{Largura de banda de DSB} = 2B.Ou seja, cada sinal DSB ocupa 2\cdot 10\\ \text{kHz} = 20\\ \text{kHz}.
    Observação: a existência da portadora (DSB+C) não altera a largura total ocupada — apenas adiciona uma linha de portadora no meio do espectro, mas o envelope de ocupação é o mesmo 2B.
  • SSB (single sideband) transmite apenas uma das bandas laterais (upper ou lower). Logo: \text{Largura de banda de SSB} = B.Ou seja, cada sinal SSB ocupa 10\\ \text{kHz}.
  • Como a faixa ocupada por um sinal se relaciona com f_c:
    • Para DSB (ou DSB-SC/DSB+C) o sinal ocupa [f_c - B,\; f_c + B].
    • Para SSB USB (upper sideband) o espectro pode ocupar [f_c,\; f_c + B].
    • Para SSB LSB (lower sideband) o espectro pode ocupar [f_c - B,\; f_c].
      Esses intervalos são o que vamos garantir que não se sobreponham ao alocar frequência.

Passo 3

Calculemos a largura total do canal e a largura média por sinal (usando as frações dadas):
  • Largura do canal disponível: \text{BW}_{\text{canal}} = 1\\ \text{MHz} - 800\\ \text{kHz} = 200\\ \text{kHz}.
  • Frações: 1/2 DSB+C, 1/4 DSB-SC, 1/4 SSB. Note que DSB+C e DSB-SC têm a mesma ocupação 20\\ \text{kHz}; SSB ocupa 10\\ \text{kHz}.
  • Largura média por sinal (ponderada): \text{BW}_{\text{média por sinal}} = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot 20\\ \text{kHz} + \frac{1}{4}\cdot 10\\ \text{kHz}.éFaça as contas passo a passo: \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4},
\frac{3}{4}\cdot 20\\ \text{kHz}=15\\ \text{kHz},
\frac{1}{4}\cdot 10\\ \text{kHz}=2{,}5\\ \text{kHz}.
Assim
\text{BW}_{\text{média por sinal}} = 15\\ \text{kHz} + 2{,}5\\ \text{kHz} = 17{,}5\\ \text{kHz}.é
  • Máximo teórico de sinais (ignorando que N deve permitir divisões inteiras segundo as frações) é N_{\max,\text{teórico}} = \left\lfloor\frac{200\\ \text{kHz}}{17{,}5\\ \text{kHz}}\right\rfloor = \left\lfloor 11{,}428\ldots \right\rfloor = 11.óMas atenção: o enunciado descreve frações exatas de N (metade, um quarto, um quarto). Para que essas frações resultem em números inteiros de sinais, N deve ser múltiplo de 4. Portanto não podemos adotar N=11 porque 11/4 não é inteiro.

Passo 4

Impondo a condição de inteiros (frações exatas), escolha o maior N múltiplo de 4 que caiba no canal:
  • Testando múltiplos de 4:
    • N=12\Rightarrow largura total necessária =12\cdot 17{,}5\\ \text{kHz}=210\\ \text{kHz} >200\\ \text{kHz} (não cabe).
    • N=8\Rightarrow largura total necessária =8\cdot 17{,}5\\ \text{kHz}=140\\ \text{kHz} \le 200\\ \text{kHz} (cabe).
  • Logo o maior N inteiro e compatível com as frações é N_{\max}=8.
  • Para esse N=8 as quantidades por tipo ficam: \text{DSB+C: } \frac{1}{2}\cdot 8 = 4\\ \text{sinais},
\text{DSB-SC: } \frac{1}{4}\cdot 8 = 2\\ \text{sinais},
\text{SSB: } \frac{1}{4}\cdot 8 = 2\\ \text{sinais}.
  • Confirmação da largura total usada: 4\cdot 20\\ \text{kHz} + 2\cdot 20\\ \text{kHz} + 2\cdot 10\\ \text{kHz} = (4+2)\cdot 20\\ \text{kHz} + 2\cdot 10\\ \text{kHz} = 6\cdot 20\\ \text{kHz} + 20\\ \text{kHz} = 120\\ \text{kHz} + 20\\ \text{kHz} = 140\\ \text{kHz}.
  • Resto livre no canal: 200\\ \text{kHz}-140\\ \text{kHz}=60\\ \text{kHz}. Podemos usar esse espaço como folga/guardas ou simplesmente deixar o espectro livre.

Passo 5

Como escolher frequências centrais ( f_c) sem sobreposição — estratégia prática:
  • Para DSB (20 kHz), se escolhermos f_c então faixa ocupada é [f_c - 10\\ \text{kHz},\; f_c + 10\\ \text{kHz}].
  • Para SSB (10 kHz) convém escolher USB (ocupando [f_c,\; f_c + 10\\ \text{kHz}]) ou LSB (ocupando [f_c - 10\\ \text{kHz},\; f_c]). Para empacotamento simples eu uso USBs com f_c igual à frequência de início do bloco — isso é só uma convenção prática para colocar as faixas lado a lado sem sobreposição.
  • Uma alocação possível, começando do limite inferior do canal ( 800\\ \text{kHz}) e colocando os sinais lado a lado (sem gaps ou com gaps de zero, que é o caso mínimo), é a seguinte. Em cada linha eu dou: número do sinal — tipo — largura — f_c — faixa ocupada.

Passo 6

Propondo uma alocação concreta (uma dentre muitas possíveis). Começando em 800\\ \text{kHz} e empilhando para cima:
  1. Sinal 1 — DSB+C — largura 20\\ \text{kHz} f_c = 810\\ \text{kHz} — ocupa [800\\ \text{kHz},\,820\\ \text{kHz}].
  2. Sinal 2 — DSB+C — largura 20\\ \text{kHz} f_c = 830\\ \text{kHz} — ocupa [820\\ \text{kHz},\,840\\ \text{kHz}].
  3. Sinal 3 — DSB+C — largura 20\\ \text{kHz} f_c = 850\\ \text{kHz} — ocupa [840\\ \text{kHz},\,860\\ \text{kHz}].
  4. Sinal 4 — DSB+C — largura 20\\ \text{kHz} f_c = 870\\ \text{kHz} — ocupa [860\\ \text{kHz},\,880\\ \text{kHz}].
  5. Sinal 5 — DSB-SC — largura 20\\ \text{kHz} f_c = 890\\ \text{kHz} — ocupa [880\\ \text{kHz},\,900\\ \text{kHz}].
  6. Sinal 6 — DSB-SC — largura 20\\ \text{kHz} f_c = 910\\ \text{kHz} — ocupa [900\\ \text{kHz},\,920\\ \text{kHz}].
  7. Sinal 7 — SSB (USB) — largura 10\\ \text{kHz} f_c = 920\\ \text{kHz} — ocupa [920\\ \text{kHz},\,930\\ \text{kHz}].
  8. Sinal 8 — SSB (USB) — largura 10\\ \text{kHz} f_c = 930\\ \text{kHz} — ocupa [930\\ \text{kHz},\,940\\ \text{kHz}].
Observações:
  • Esta escolha empacota os 140\\ \text{kHz} usados entre 800\\ \text{kHz} e 940\\ \text{kHz}, deixando a faixa 940\\ \text{kHz} a 1\\ \text{MHz} (ou seja, 60\\ \text{kHz}) livre para guardas ou expansão futura.
  • Poderíamos ter usado SSBs como LSB em vez de USB; basta ajustar f_c e intervalos conforme as fórmulas do Passo 2. Também poderíamos espalhar melhor os sinais sobre todo o canal, deixando guardas entre blocos, se quisermos reduzir interferência (usando parte dos 60\\ \text{kHz} sobrantes como guardas).
  • Nenhuma sobreposição ocorre na alocação proposta porque cada bloco consecutivo usa exatamente a borda do anterior como início (embora em práticas reais seja comum deixar pequenas guardas de alguns kHz).

Resposta

(a) N = 8\n
(b) Tipos e larguras: DSB+C: 20\\ \text{kHz} cada; DSB-SC: 20\\ \text{kHz} cada; SSB: 10\\ \text{kHz} cada.
Exemplo de alocação (começando em 800\\ \text{kHz}):
S1 DSB+C: f_c=810\\ \text{kHz}, ocupa [800,\;820]\\ \text{kHz}.
S2 DSB+C: f_c=830\\ \text{kHz}, ocupa [820,\;840]\\ \text{kHz}.
S3 DSB+C: f_c=850\\ \text{kHz}, ocupa [840,\;860]\\ \text{kHz}.
S4 DSB+C: f_c=870\\ \text{kHz}, ocupa [860,\;880]\\ \text{kHz}.
S5 DSB-SC: f_c=890\\ \text{kHz}, ocupa [880,\;900]\\ \text{kHz}.
S6 DSB-SC: f_c=910\\ \text{kHz}, ocupa [900,\;920]\\ \text{kHz}.
S7 SSB (USB): f_c=920\\ \text{kHz}, ocupa [920,\;930]\\ \text{kHz}.
S8 SSB (USB): f_c=930\\ \text{kHz}, ocupa [930,\;940]\\ \text{kHz}.

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