Considere o sistema com função de transferência
Valor 2,5
:
a) Represente os polos e zeros do sistema
no plano
e comente sobre sua estabilidade.
b) Determine a transformada inversa de Laplace da saída
para uma entrada
.
c) Encontre a resposta
quando
para uma entrada
do tipo degrau unitário.
a) Represente os polos e zeros do sistema
b) Determine a transformada inversa de Laplace da saída
c) Encontre a resposta
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
- A função de transferência é
. - Perguntas:
a) Representar polos e zeros no planoe comentar sobre estabilidade.
b) Calcularpara entrada .
c) Encontrarpara entrada degrau unitário . - Informação implícita que usaremos: transformada de Laplace padrão e propriedades usuais de inversão (por exemplo,
, , , etc.).
Passo 2
Análise dos polos e zeros (identificar raízes do numerador e denominador).
- Zero(s) são as raízes do numerador
. Logo existe um zero em
- Polos são as raízes do denominador
. Vamos fatorar:
Portanto os polos são
Passo 3
Interpretação geométrica no plano
e comentário sobre estabilidade.
- No plano
: - Zero em
(eixo real, lado direito — região de parte real positiva). - Polos em
e (eixo real, ambos à esquerda, parte real negativa).
- Zero em
- Estabilidade:
- Um sistema linear e causal com todos os polos com parte real negativa é BIBO estável. Aqui os polos estão em
e , ambos à esquerda, então o sistema é estável. - Observação extra importante: o zero em
está no semiplano direito (RHP), isso não torna o sistema instável, mas indica que o sistema é não mínimo-fase (resposta transitória pode ter comportamento não-intuitivo). Portanto: estável, porém não mínimo-fase.
- Um sistema linear e causal com todos os polos com parte real negativa é BIBO estável. Aqui os polos estão em
Passo 4
Preparação para a parte (b): obter
a partir de
e
quando
.
- Transformada de Laplace de
é
- Logo
- Para inverter a transformada, vamos decompor
em frações parciais do tipo
Passo 5
Montagem da equação para determinar coeficientes das frações parciais.
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em :
- Agora vamos encontrar
. Uma técnica eficaz é avaliar a identidade em valores de que anulem fatores.
Passo 6
Determinação de
usando
.
- Colocando
em temos
- Logo
Passo 7
Determinação de
usando
.
- Para
:
- Logo
Passo 8
Determinação de
usando
.
- Para
:
- Portanto
Passo 9
Determinação de
usando um valor conveniente (por exemplo
) e os coeficientes já encontrados.
- Para
a identidade dá:
- Calculando os termos já com
: -
. - Usando
temos - Usando
temos - Usando
temos
-
- Substituindo:
- Somando constantes:
. Agora - Então
- Passando termo:
- Logo
(Antes obtivemos
por outro método; vamos verificar consistência: calculemos novamente a soma das constantes numericamente para conferir. Vou reavaliar numericamente para evitar erro.)
- Conferência numérica rápida:
. . . Soma = . Então . . Portanto (valor correto após verificação). - Observação: escolha de pontos e aritmética podem variar; o método de resolver o sistema linear ou usar outro ponto dá o mesmo resultado quando bem calculado. Aqui o valor final é
.
Passo 10
Escrevendo a decomposição em frações parciais completa.
- Temos, portanto,
com
Passo 11
Aplicando a transformada inversa de Laplace termo a termo para obter
.
- Usando as transformadas inversas conhecidas:
-
(função degrau unitário). -
. -
.
-
- Portanto, para
,
- Substituindo os coeficientes:
Passo 12
Comentário didático sobre o resultado de (b) e verificação de consistência.
- Estrutura da solução: soma de um termo polinomial em
(a partir da entrada polinomial ) e termos exponenciais decaindo (modos naturais do sistema) devido aos polos e . - Como os exponenciais têm fatores
e (decrescentes), no longo prazo esses termos desaparecem e a contribuição dominante vem do termo constante e do termo linear em , que refletem a entrada crescente . - Observação prática: coeficiente negativo em
implica que a saída cresce negativamente com o tempo dominada pelo termo quando fica grande (os exponenciais vão a zero).
Passo 13
Parte (c): resposta em regime permanente para entrada degrau unitário
.
- Para
temos e . - Como o sistema é estável (ver Passo 3), podemos usar o Teorema do Valor Final:
- Então basta avaliar
:
- Logo
Resposta
a) Zeros:
. Polos:
e
. Sistema estável (polos à esquerda), porém possui zero em
(RHP) — não mínimo‑fase.
b)
c)
b)
c)