Uma empresa sabe que a função demanda para um determinado produto é dada por:
p(x)=100-0,005 x
A empresa gasta R $ 20,00 para cada produto produzido. Suponha que não existem outros custos. Qual é a quantidade produzida que maximiza lucros da empresa? Qual o lucro obtido?

Passo 1

Temos a função demanda p(x)=100-0.005x e custo unitário de R$ 20,00. O objetivo é achar a quantidade 20,00 O objetivo é achar a quantidade que maximiza o lucro, sabendo que não há outros custos.

Passo 2

A receita R(x) é o preço vezes a quantidade vendida. Logo:
R(x)=xcdot p(x)=xcdot(100-0.005x)=100x-0.005x^2

Passo 3

O lucro pi(x) é dado pela receita menos o custo total C(x)=20x. Assim:
pi(x)=R(x)-C(x)=(100x-0.005x^2)-20x=80x-0.005x^2

Passo 4

Para maximizar pi(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
pi'(x)=ddx(80x-0.005x^2)=80-0.01x
Resolvendo pi'(x)=0 dá:
80-0.01x=0Longrightarrow x=800.01=8000

Passo 5

Calculamos o lucro máximo substituindo x=8000 em pi(x):
pi(8000)=80cdot8000-0.005cdot(8000)^2=640000-320000=320000

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é 8000 unidades e o lucro máximo é R$ 320.000,00.

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