1. Uma empresa tem 2 alarmes que funcionam de forma independente. Qual a probabilidade de que um problema seja detectado por apenas um deles? A probabilidade do alarme funcionar quando o sensor detecta uma invasão é de \mathbf{9 5 \%} no alarme A e 90% no alarme B.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a probabilidade de que um problema (invasão) seja detectado por apenas um dos dois alarmes.
Informações dadas:
  • A probabilidade do alarme A funcionar (detectar) é \,95\%.
  • A probabilidade do alarme B funcionar (detectar) é \,90\%.
  • Os dois alarmes funcionam de forma independente (ou seja, o sucesso de um não altera a probabilidade do outro).

Passo 2

Entendendo os eventos e regras básicas (aula rápida e amigável):
  • Denotemos por \,A o evento “alarme A detecta” e por \,B o evento “alarme B detecta”. Então \,P(A)=0{,}95 e \,P(B)=0{,}90.
  • Independência quer dizer que \,P(A\text{ e }B)=P(A)\cdot P(B).
  • O evento “apenas um detecta” é a união disjunta de dois casos: “A detecta e B não detecta” OU “B detecta e A não detecta”. Como esses dois casos são mutuamente exclusivos, somamos as probabilidades.
  • Complemento: a probabilidade de um alarme não detectar é \,1 menos a probabilidade de detectar; por exemplo \,P(\text{não }B)=1-P(B)ã.

Passo 3

Calcular \,P(A\text{ e não }B)ã. Usamos independência e complemento:
P(A\text{ e não }B)=P(A)\cdot P(\text{não }B)=P(A)\cdot(1-P(B)).ãã
Substituindo os números:
P(A\text{ e não }B)=0{,}95\cdot(1-0{,}90)=0{,}95\cdot0{,}10=0{,}095.ã
Interpretação numérica: isso equivale a \,9{,}5\%.

Passo 4

Calcular \,P(B\text{ e não }A)ã de forma análoga:
P(B\text{ e não }A)=P(B)\cdot(1-P(A))=0{,}90\cdot(1-0{,}95)=0{,}90\cdot0{,}05=0{,}045.ã
Interpretação numérica: isso equivale a \,4{,}5\%.

Passo 5

Somar os dois casos (são mutuamente exclusivos) para obter a probabilidade de “apenas um detecta”:
P(\text{apenas um detecta})=P(A\text{ e não }B)+P(B\text{ e não }A)=0{,}095+0{,}045=0{,}14.ãã
Em porcentagem isso é \,14\%. (Uma forma alternativa de ver: \,P(A\oplus B)=P(A)+P(B)-2P(A\text{ e }B), que dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a chance de exatamente um dos alarmes disparar é \,14\%. Isso significa que na grande maioria das invasões (86%) ou ambos disparam ou nenhum dispara; bom saber isso para avaliar a confiabilidade conjunta do sistema — e olha só, você tirou isso sem pânico, mandou bem!

Resposta

14\%