Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de aǵua a uma taxa de
. O vértice está a 15 m do topo e o raio é de 10 m . Com que velocidade o nível
da água está subindo no instante de tempo em que
.
Usando que
, ao considerar
e
como funções do tempo
. Para estabelecer uma relação entre
e
, aplica-se semelhança de triângulos, obtendo
Substituindo na equação do volume, tem-se
Derivando,
. Como
para todo
, se
é o instante de tempo em que
,
Passo 1
Então, temos um reservatório em forma de cone que está sendo enchido com água a uma taxa constante de
. O cone tem uma altura total de 15 metros e um raio de 10 metros no topo. Queremos descobrir quão rápido o nível da água, representado por
, está subindo no instante em que
. Vamos usar conhecimentos de geometria para relacionar as dimensões do cone e calculamos a taxa de variação de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o raio da água (
) com a altura da água (
). Como o reservatório é um cone semelhante ao volume de água, podemos usar a semelhança de triângulos:
Isso nos dá uma relação direta entre
e
.
Passo 3
O volume de um cone é dado por:
Substituindo a relação de
que encontramos:
Assim, o volume
está expresso apenas em função de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar o volume em relação ao tempo para encontrar como
está mudando com o tempo:
Sabemos que a taxa de enchimento é
, então:
Passo 5
Vamos isolar
:
Substituindo
:
Resposta
No instante em que o nível da água está a 7 metros, a água está subindo a uma velocidade aproximada de
.