Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de aǵua a uma taxa de 0,1 m^3/s. O vértice está a 15 m do topo e o raio é de 10 m . Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante de tempo em que h = 7 m.
Usando que V = (1/3) pi r^2 h, ao considerar V(t), r(t) e h(t) como funções do tempo t, V(t) = (1/3) pi r(t)^(2) h(t). Para estabelecer uma relação entre r e h, aplica-se semelhança de triângulos, obtendo
10/r = 15/h => r = 2h/3
Substituindo na equação do volume, tem-se
V(t) = (pi/3) r(t)^(2) h(t) = (pi/3)[(2 h(t)/3)^(2)] h(t) = (4 pi/27) h^(3)(t)
Derivando, V'(t) = (4 * pi / 9) * h^2(t) * h'(t). Como V'(t) = 0,1 para todo t ≥ 0, se T é o instante de tempo em que h(T) = 7,
h'(T) = 0,9 / (4 pi h^2(T)) = 0,9 / (4 pi 49) = 0,9 / (196 pi) ≈ 0,00146 m/s

Passo 1

Então, temos um reservatório em forma de cone que está sendo enchido com água a uma taxa constante de . O cone tem uma altura total de 15 metros e um raio de 10 metros no topo. Queremos descobrir quão rápido o nível da água, representado por , está subindo no instante em que . Vamos usar conhecimentos de geometria para relacionar as dimensões do cone e calculamos a taxa de variação de .

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o raio da água ( ) com a altura da água ( ). Como o reservatório é um cone semelhante ao volume de água, podemos usar a semelhança de triângulos:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 3

O volume de um cone é dado por:
Substituindo a relação de que encontramos:
Assim, o volume está expresso apenas em função de .

Passo 4

Agora, vamos derivar o volume em relação ao tempo para encontrar como está mudando com o tempo:
Sabemos que a taxa de enchimento é , então:

Passo 5

Vamos isolar :
Substituindo :

Resposta

No instante em que o nível da água está a 7 metros, a água está subindo a uma velocidade aproximada de .

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