Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de duas equações:
Informações relevantes (tudo que foi dado):
- As equações lineares acima equivalem ao sistema matricial
, com e
O que o enunciado pede:
- Encontrar os autovalores (autovalores = valores
tais que existe vetor não-nulo com ). - Encontrar os autovetores correspondentes.
- Determinar se o sistema é estável (ou seja, classificar a estabilidade do ponto de equilíbrio
com base nos autovalores).]
Passo 2
Definição e método (aula rápida antes dos cálculos):
- Autovalores
e autovetores satisfazem
- Para achar
resolvem-se a equação característica
onde
é a identidade. Essa é uma equação polinomial em
(para uma matriz
é um polinômio quadrático).
- Depois de obter um
, acha-se resolvendo .
Agora aplicamos isso ao nosso
.
Passo 3
Calcular o polinômio característico:
O determinante é
Faço a expansão passo a passo:
Somando o
vindo do produto
:
Portanto a equação característica é
Resolvendo o quadrático usando o discriminante
:
Como
, os autovalores são complexos conjugados:
Logo
Passo 4
Interpretando os autovalores (aula rápida de estabilidade):
- Para sistemas lineares
, soluções típicas têm termo . - Se algum autovalor tem parte real positiva, soluções crescem exponencialmente em módulo e o equilíbrio
é instável. - Se todas as partes reais forem negativas, o equilíbrio é assintoticamente estável.
- Se partes reais são zero (esem repetição delicada), há estabilidade marginal.
Aqui ambos os autovalores têm parte real
. Assim o ponto
é instável; como os autovalores são complexos não reais, o comportamento é de crescimento exponencial com oscilações — isto é, uma espiral instável (spiral source).
Passo 5
Encontrar um autovetor correspondente a
(faço passo a passo algébrico):
Calculo :
Calculo
Busco
tal que
, i.e. o sistema
Da primeira equação sai diretamente
Substituo na segunda para verificar consistência:
Calculo o produto
passo a passo:
Então a expressão dentro do parêntese vira
, mostrando que as equações são dependentes (como deve ser). Portanto posso escolher
e obter
como autovetor para
.
Para
o cálculo é análogo e produz o autovetor conjugado
Passo 6
Como o sistema é real, costuma-se escrever a solução real geral usando as partes real e imaginária do autovetor associado ao autovalor
. Esquema (breve explicação didática):
- Se
e com , então duas soluções reais independentes são
No nosso caso
,
, e, para
, temos
e
. Assim duas soluções reais são
e a solução geral real é combinação linear dessas. Isso ilustra o comportamento: fator
(crescimento exponencial) multiplicando oscilações
— portanto espiral que se afasta da origem.]
Resposta
O sistema é instável (espiral instável / spiral source), pois ambos os autovalores têm parte real