Um autovalor \lambda satisfaz a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores v\neq0.
Vou aplicar isso passo a passo. Lembre que para uma matriz 2\times2
e que \lambda pode ter multiplicidade algébrica (raiz repetida) e multiplicidade geométrica (nº de vetores linearmente independentes na eigensubspace).]
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
As duas equações são iguais: -3v_1+3v_2=0, ou seja
-3v_1+3v_2=0\quad\Longrightarrow\quad v_1=v_2.
Portanto os vetores próprios são todos os múltiplos não nulos de
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2: isto significa que existe apenas um autovetor linearmente independente para \lambda=2.]
Passo 6
Interpretação e conclusão sobre diagonalização e estabilidade:
Como a única raiz é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2 e a multiplicidade geométrica é 1, a matriz A não é diagonalizável (é deficiente). Em provas, diga: “autovalor duplo \lambda=2 com um único autovetor (1,1)^T”.
Para estabilidade do sistema \dot{x}=Ax: a estabilidade é decidida pelos partes reais dos autovalores. Se algum autovalor tiver parte real positiva, o sistema é instável (soluções crescem exponencialmente). Aqui \lambda=2>0, então o sistema é instável.
Como a matriz não é diagonalizável e o autovalor positivo é repetido, soluções gerais contêm termos que crescem como e^{2t} e também como t e^{2t} (comportamento típico de um bloco de Jordan), o que reforça a instabilidade (crescimento mais rápido em certas direções).
Passo 7
Resumo prático rápido (o que anotar numa prova):
Calcular traço e determinante também ajuda: \operatorname{tr}A=-1+5=4, \det A=4. Para 2\times2, autovalores = \dfrac{\operatorname{tr}A\pm\sqrt{(\operatorname{tr}A)^2-4\det A}}{2}. Aqui o discriminante é 16-16=0, então autovalor duplo \lambda=2.
Resolver (A-2I)v=0 para o autovetor (escolher conveniente v_2=1 \Rightarrow v_1=1).
Autovetor (base do espaço próprio): v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (multiplicidade geométrica 1).
O sistema \dot{x}=Ax é instável (autovalor positivo; crescimento como e^{2t} e termos \sim t e^{2t} devido ao bloco de Jordan).]