Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\dot{x}=\left[\begin{array}{ll}-1 & 3 \\\\ -3 & 5\end{array}\right] x

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e a matriz dada é esta (peguei os números do enunciado):
  • Encontrar os autovalores (autovalores = valores \lambda tais que existe vetor não nulo v com Av=\lambda v).
  • Encontrar os autovetores associados a esses autovalores.
  • Determinar se o sistema linear contínuo \dot{x}=Ax é estável.
A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição prática que vamos usar (a “receita”):
  • Um autovalor \lambda satisfaz a equação característica \det(A-\lambda I)=0.
  • Para cada autovalor \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores v\neq0.
    Vou aplicar isso passo a passo. Lembre que para uma matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
e que \lambda pode ter multiplicidade algébrica (raiz repetida) e multiplicidade geométrica (nº de vetores linearmente independentes na eigensubspace).]

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-1-\lambda & 3\\[4pt]-3 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante:
\det(A-\lambda I)=(-1-\lambda)(5-\lambda)-3\cdot(-3).
Vou expandir passo a passo:
(-1-\lambda)(5-\lambda)=\lambda^2-4\lambda-5,
e
-3\cdot(-3)=9.
Somando:
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-4\lambda-5+9=\lambda^2-4\lambda+4.]

Passo 4

Resolver a equação característica \lambda^2-4\lambda+4=0.
Reconhece-se um quadrado perfeito:
\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Logo
\lambda=2
é a única raiz, com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Agora achar os autovetores associados a \lambda=2 resolvendo (A-2I)v=0.
Calculo A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}-1-2 & 3\\[4pt]-3 & 5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix}.
Resolver o sistema
\begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
As duas equações são iguais: -3v_1+3v_2=0, ou seja
-3v_1+3v_2=0\quad\Longrightarrow\quad v_1=v_2.
Portanto os vetores próprios são todos os múltiplos não nulos de
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2: isto significa que existe apenas um autovetor linearmente independente para \lambda=2.]

Passo 6

Interpretação e conclusão sobre diagonalização e estabilidade:
  • Como a única raiz é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2 e a multiplicidade geométrica é 1, a matriz A não é diagonalizável (é deficiente). Em provas, diga: “autovalor duplo \lambda=2 com um único autovetor (1,1)^T”.
  • Para estabilidade do sistema \dot{x}=Ax: a estabilidade é decidida pelos partes reais dos autovalores. Se algum autovalor tiver parte real positiva, o sistema é instável (soluções crescem exponencialmente). Aqui \lambda=2>0, então o sistema é instável.
  • Como a matriz não é diagonalizável e o autovalor positivo é repetido, soluções gerais contêm termos que crescem como e^{2t} e também como t e^{2t} (comportamento típico de um bloco de Jordan), o que reforça a instabilidade (crescimento mais rápido em certas direções).

Passo 7

Resumo prático rápido (o que anotar numa prova):
  • Calcular traço e determinante também ajuda: \operatorname{tr}A=-1+5=4, \det A=4. Para 2\times2, autovalores = \dfrac{\operatorname{tr}A\pm\sqrt{(\operatorname{tr}A)^2-4\det A}}{2}. Aqui o discriminante é 16-16=0, então autovalor duplo \lambda=2.
  • Resolver (A-2I)v=0 para o autovetor (escolher conveniente v_2=1 \Rightarrow v_1=1).

Resposta

Autovalor: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Autovetor (base do espaço próprio): v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (multiplicidade geométrica 1).
O sistema \dot{x}=Ax é instável (autovalor positivo; crescimento como e^{2t} e termos \sim t e^{2t} devido ao bloco de Jordan).]

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