Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
y^{2}=4(x+4)^{3}, 0 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado fornece a curva definida implicitamente pela equação
y^{2}=4(x+4)^{3},
no intervalo de abscissas 0 \leq x \leq 2, e pede o comprimento de arco correspondente a esse trecho da curva. Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A equação é uma relação entre x e y que, para cada x, dá dois possíveis valores de y: um positivo e um negativo (ramo superior e ramo inferior), pois aparece y^{2}.
  • O intervalo de interesse é apenas em x, de x=0 até x=2.
  • A pergunta é “encontrar o comprimento de arco da curva” para esse intervalo. Não especifica explicitamente se é do ramo superior, inferior ou de ambos; a curva é simétrica em relação ao eixo x (pois y aparece apenas ao quadrado).
  • Vou na resolução considerar primeiro o ramo superior y\ge 0 (que é uma função y=f(x) nesse intervalo), calcular o comprimento desse ramo; depois comento como obter o comprimento dos dois ramos se for desejado.

Passo 2

Transformar a relação implícita em uma função y=f(x) para poder usar a fórmula clássica do comprimento de arco em coordenadas cartesianas. Como temos y^{2}=4(x+4)^{3}, tirando a raiz quadrada obtemos duas possibilidades:
y=\pm 2(x+4)^{3/2}.
Escolho o sinal positivo para obter o ramo superior:
y=2(x+4)^{3/2}.
Motivo: para aplicar a fórmula do comprimento de arco na forma L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx precisamos de y como função de x. O ramo superior é contínuo e diferenciável em 0\le x\le2. Se for preciso o comprimento dos dois ramos, basta dobrar o resultado obtido para o ramo superior, porque a curva é simétrica em relação ao eixo x.

Passo 3

Calcular a derivada y'= \dfrac{dy}{dx} do ramo escolhido. Usamos a regra do poder e a regra da cadeia. Para
y=2(x+4)^{3/2},
aplicando a derivada:
y' = 2 \cdot \frac{3}{2}(x+4)^{1/2}.
Simplificando:
y'=3(x+4)^{1/2}.
Explicação curta: se g(x)=(x+4)^{3/2}, então g'(x)=\tfrac{3}{2}(x+4)^{1/2}; multiplicando por 2 3(x+4)^{1/2}.

Passo 4

Escrever a fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x) no intervalo [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Interpretação rápida: um pequeno segmento de arco tem comprimento aproximado por \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}; integrar isso ao longo de x dá o comprimento total.
Aqui a=0, b=2, e f'(x)=y'=3(x+4)^{1/2}. Então dentro da raiz temos:
1+(y')^{2}=1+9(x+4)=9x+37.

Passo 5

Montar o integral do comprimento:
L=\int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}\,dx.
Agora vamos calcular esse integral de forma explícita, passo a passo, sem pular etapas.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}\,dx por substituição linear. Tome
u=9x+37.
Então
du=9\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{9}.
Quando x=0, u=37. Quando x=2, u=9\cdot 2+37=55. Substituindo no integral:
\int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}\,dx = \int_{u=37}^{u=55}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9} = \frac{1}{9}\int_{37}^{55} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Integrar u^{1/2}. A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto:
\frac{1}{9}\int_{37}^{55} u^{1/2}\,du = \frac{1}{9}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{37}^{55} = \frac{2}{27}\left(u^{3/2}\right)\Big|_{37}^{55}.
Voltando para x:
L=\frac{2}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr).
Podemos também escrever 55^{3/2}=55\sqrt{55} e 37^{3/2}=37\sqrt{37}, obtendo
L=\frac{2}{27}\bigl(55\sqrt{55}-37\sqrt{37}\bigr).

Passo 8

Interpretando o resultado quanto ao ramo negativo: a curva é simétrica em relação ao eixo x porque a equação original depende de y^{2}. Assim, o comprimento do ramo inferior (onde y\le 0) no mesmo intervalo de x é igual ao comprimento do ramo superior que acabamos de calcular. Se o problema pedir o comprimento total dos dois ramos para 0\le x\le 2, basta multiplicar por 2:
L_{\text{total}} = 2L = \frac{4}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr).

Resposta

\displaystyle L_{\text{ramo superior}}=\frac{2}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr)=\frac{2}{27}\bigl(55\sqrt{55}-37\sqrt{37}\bigr)
\displaystyle L_{\text{ambos os ramos}}=\frac{4}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr)=\frac{4}{27}\bigl(55\sqrt{55}-37\sqrt{37}\bigr)