Encontrar los máximos y mínimos de f(x, y) = x * y para ( x, y ) restringido a la elipse 4 x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função quando os pontos estão limitados à elipse dada pela equação . Isso envolve otimização com restrição, e para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como aplicar restrições usando Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar os extremos (máximos e mínimos) de uma função quando estamos sujeitos a uma restrição . Aqui, nossa função é e a restrição é .

Passo 3

A regra dos multiplicadores de Lagrange diz que, no ponto de máximo ou mínimo, o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Matematicamente, isso significa que existe um número (o multiplicador de Lagrange) tal que:
Vamos calcular os gradientes de e .

Passo 4

Calculando o gradiente de :
Calculando o gradiente de :

Passo 5

De acordo com os multiplicadores de Lagrange, temos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, . Da segunda, .
Substituindo da primeira na segunda:
Para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos encontrar e para cada valor de .
Para :
De :
Para :

Passo 8

Agora, vamos usar a restrição para encontrar os valores de e .
Primeiro caso:
Substituindo na restrição:
Então:
Segundo caso:
Substituindo na restrição:
Então:

Passo 9

Agora, temos quatro pontos candidatos:
Vamos calcular o valor de em cada um desses pontos.

Passo 10

Calculando :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Resposta

Os valores máximos e mínimos de na elipse são:
  • Máximo: nos pontos e
  • Mínimo: nos pontos e

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