8 Encontrar o número de soluções em inteiros positivos da equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros positivos de x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17. Isso faz parte de combinatória de particionamento de inteiros, onde usamos o método das barras e estrelas para contar soluções com restrição de positividade.

Passo 2

Para lidar com a restrição x_{i}\ge1, definimos novas variáveis y_{i}=x_{i}-1. Assim y_{i}\ge0 e
\sum_{i=1}^{4}x_{i}=17 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{4}(y_{i}+1)=17 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{4}y_{i}=17-4=13.

Passo 3

O número de soluções em inteiros não-negativos de y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=13 é dado pela fórmula
\binom{n+k-1}{k-1}
com n=13 e k=4, ou seja,
\binom{13+4-1}{4-1}=\binom{16}{3}.

Passo 4

Calculamos o valor de
\binom{16}{3}=\frac{16\cdot15\cdot14}{3\cdot2\cdot1}=560.

Resposta

560

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