Encontrar a taxa máxima de variação de f(x, y) = (x^2 + 6y) e^(xy) no ponto P(1,0) e determinar em que direção ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a taxa máxima de variação da função no ponto e determinar em que direção isso ocorre. Vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto porque temos um produto de duas funções de .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra do produto.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente da função é:

Passo 8

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo e :
Então, o gradiente em é:

Passo 9

A taxa máxima de variação da função em é dada pelo módulo do gradiente nesse ponto:
á

Passo 10

A direção em que essa taxa máxima ocorre é na mesma direção do gradiente. Para obter um vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:
çã

Resposta

A taxa máxima de variação da função em é e ocorre na direção do vetor .

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