Encontre o ângulo entre as superfícies da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 e o cilindro x^2 + y^2 = 1 um ponto onde eles se cruzam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ângulo entre duas superfícies: uma esfera definida por e um cilindro dado por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de vetores normais às superfícies e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto onde a esfera e o cilindro se intersectam. Sabemos que (do cilindro) e (da esfera). Substituindo na equação da esfera, temos:
Então, os pontos de interseção são, por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores normais às superfícies no ponto de interseção. O vetor normal a uma superfície em um ponto é dado pelo gradiente da função que define a superfície nesse ponto.
Para a esfera :
No ponto :
Para o cilindro :
No ponto :

Passo 4

Com os vetores normais das duas superfícies no ponto de interseção, podemos encontrar o ângulo entre as superfícies calculando o ângulo entre esses vetores. A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
Onde é o produto escalar e , são as magnitudes dos vetores.
Vamos calcular para e :
Produto escalar:
Magnitudes:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre as superfícies da esfera e do cilindro no ponto de interseção é de .

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