Encontre a área entre y = sen x e y = cos(x) de um ponto em que elas se cruzam até o próximo ponto em que elas se cruzam. Mostre cada passo detalhadamente e esboce o gráfico de tal região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área entre as funções e entre dois pontos onde elas se cruzam. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para calcular essa área. Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde e se cruzam. Para isso, igualamos as duas funções:
Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Sabemos que quando , onde é um inteiro. Então, os pontos de interseção ocorrem em e , por exemplo.

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre e , por exemplo, :
Como nesse intervalo, a função está acima de entre e .

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções e no intervalo de a :
Á

Passo 5

Vamos realizar a integração termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Á

Passo 6

Calculando nos limites superior e inferior:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área entre as curvas e entre dois pontos de interseção consecutivos é unidades de área.

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