Encontre a área entre
e
de um ponto em que elas se cruzam até o próximo ponto em que elas se cruzam. Mostre cada passo detalhadamente e esboce o gráfico de tal região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área entre as funções
e
entre dois pontos onde elas se cruzam. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para calcular essa área. Para isso, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde
e
se cruzam. Para isso, igualamos as duas funções:
Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Então, os pontos de interseção ocorrem em
e
, por exemplo.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre
e
, por exemplo,
:
Como
nesse intervalo, a função
está acima de
entre
e
.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções
e
no intervalo de
a
:
Passo 5
Vamos realizar a integração termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 6
Calculando nos limites superior e inferior:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores:
Resposta
A área entre as curvas
e
entre dois pontos de interseção consecutivos é
unidades de área.