Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+3 x-10}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+3x-10}
e pede as assíntotas horizontais e verticais, além de um esboço do gráfico usando essas informações. Para isso vamos:
  1. determinar o domínio e as assíntotas verticais (raízes do denominador);
  2. verificar se há assíntota horizontal ou oblíqua (grau do numerador vs. grau do denominador);
  3. obter interceptos e comportamento em cada região do domínio para guiar o esboço.

Passo 2

Assíntotas verticais vêm de x^{2}+3x-10=0. Resolvendo:
x^{2}+3x-10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{9+40}}{2} =\frac{-3\pm7}{2}
Isso dá
x=-5 \quad\text{e}\quad x=2.
Logo, há assíntotas verticais em x=-5 e x=2.

Passo 3

Como o numerador é de grau 3 e o denominador de grau 2, não há assíntota horizontal, mas sim oblíqua. Fazemos a divisão polinomial:
\frac{x^{3}}{x^{2}+3x-10} = x-3 + \frac{19x-30}{x^{2}+3x-10}.
Como \deg(19x-30)<\deg(x^{2}+3x-10), ao fazer x\to\pm\infty o quociente secundário tende a zero, e a assíntota oblíqua é
y=x-3.

Passo 4

Para orientar o esboço, achamos o intercepto em x=0:
f(0)=\frac{0}{-10}=0,
logo o gráfico passa pela origem.
Em cada intervalo do domínio (-\infty,-5), (-5,2), (2,\infty) podemos tomar valores de teste para saber o sinal de f(x) e a forma de \pm\infty junto às verticais. Por exemplo:
- em x=-6, f(-6)<0 descendo para -\infty ao se aproximar de -5^-;
- em x=-4, f(-4)>0 subindo para +\infty ao se aproximar de -5^+;
- em x=1, f(1)=-1/(1+3-10)= -1/(-6)>0 descendo para -\infty em 2^-;
- em x=3, f(3)>0 subindo para +\infty em 2^+.
Também sabemos que ao longe o gráfico se aproxima da reta y=x-3.

Passo 5

Com as assíntotas verticais em x=-5 e x=2, a assíntota oblíqua em y=x-3 e o ponto (0,0), bem como o sinal em cada região, já temos informações suficientes para esboçar a curva respeitando:
  • saltos para \pm\infty nas verticais;
  • cruzamento em (0,0);
  • aproximação da reta y=x-3 para |x| grande.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-5 e x=2
Assíntota oblíqua: y = x-3
Não há assíntota horizontal.

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