Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Utilize essas informações para fazer um esboço dos gráficos.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede as assíntotas horizontais e verticais, além de um esboço do gráfico usando essas informações. Para isso vamos:
- determinar o domínio e as assíntotas verticais (raízes do denominador);
- verificar se há assíntota horizontal ou oblíqua (grau do numerador vs. grau do denominador);
- obter interceptos e comportamento em cada região do domínio para guiar o esboço.
Passo 2
Assíntotas verticais vêm de
. Resolvendo:
Isso dá
Logo, há assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Como o numerador é de grau 3 e o denominador de grau 2, não há assíntota horizontal, mas sim oblíqua. Fazemos a divisão polinomial:
Como
, ao fazer
o quociente secundário tende a zero, e a assíntota oblíqua é
Passo 4
Para orientar o esboço, achamos o intercepto em
:
logo o gráfico passa pela origem.
Em cada intervalo do domínio ,
,
podemos tomar valores de teste para saber o sinal de
e a forma de
junto às verticais. Por exemplo:
- em ,
descendo para
ao se aproximar de
;
- em ,
subindo para
ao se aproximar de
;
- em ,
descendo para
em
;
- em ,
subindo para
em
.
Em cada intervalo do domínio
- em
- em
- em
- em
Também sabemos que ao longe o gráfico se aproxima da reta
.
Passo 5
Com as assíntotas verticais em
e
, a assíntota oblíqua em
e o ponto
, bem como o sinal em cada região, já temos informações suficientes para esboçar a curva respeitando:
- saltos para
nas verticais; - cruzamento em
; - aproximação da reta
para grande.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
Assíntota oblíqua:
Não há assíntota horizontal.
Assíntota oblíqua:
Não há assíntota horizontal.