Encontre o \bar{C}_{V} de \mathrm{CHCl}_{3} a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , conhecendo: \rho=1,49 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, \bar{C}_{P}=116 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}, \alpha=1,33.10^{-3} \mathrm{~K}^{-1} e \kappa=9,8.10^{-5} a^{-1} m^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Densidade: \rho = 1,49\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Capacidade molar a pressão constante: \bar{C}_{P}=116\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Coeficiente de dilatação térmica volumétrica: \alpha = 1,33\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Compressibilidade isotérmica (informada): \kappa = 9,8\times10^{-5} (unidade escrita no enunciado; explicarei conversão abaixo).
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}, que corresponde a T=298,15\\ \mathrm{K}.
  • Substância: \mathrm{CHCl_3} (clorofórmio).
O que se pede:
  • Determinar a capacidade molar a volume constante \bar{C}_{V} de \mathrm{CHCl_3} nas condições dadas.

Passo 2

Fórmula que relaciona \bar{C}_{P} e \bar{C}_{V} para uma substância pura (por mol):
\bar{C}_{P}-\bar{C}_{V}=\dfrac{T\,\bar{V}\,\alpha^{2}}{\kappa_{T}}.
Explicando cada símbolo (de forma bem direta):
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
  • \bar{V} é o volume molar (volume por mol) em \mathrm{m^{3}/mol}.
  • \alpha é o coeficiente volumétrico de expansão térmica, \alpha=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}, em \mathrm{K^{-1}}.
  • \kappa_{T} é a compressibilidade isotérmica, \kappa_{T}=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}, em \mathrm{Pa^{-1}}.
  • \bar{C}_{P} e \bar{C}_{V} têm unidades \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Observação sobre unidades: a fórmula exige consistência de unidades (SI) — especialmente \bar{V} em \mathrm{m^{3}/mol} e \kappa_{T} em \mathrm{Pa^{-1}}. Vou converter os dados para SI antes de aplicar a fórmula. Também isolarei \bar{C}_{V} como
\bar{C}_{V}=\bar{C}_{P}-\dfrac{T\,\bar{V}\,\alpha^{2}}{\kappa_{T}}.

Passo 3

Calcular o volume molar \bar{V}.
Primeiro a massa molar aproximada de \mathrm{CHCl_3}:
\bar{M}=12{,}01 + 1{,}008 + 3\times35{,}45 = 119{,}37\\ \mathrm{g/mol}.
Converto para \mathrm{kg/mol}:
\bar{M}=0{,}11937\\ \mathrm{kg/mol}.
Converto a densidade para SI:
\rho = 1{,}49\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1{,}49\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O volume molar é
\bar{V}=\dfrac{\bar{M}}{\rho}=\dfrac{0{,}11937\\ \mathrm{kg/mol}}{1{,}49\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}}.
Faço a divisão (mostrando o cálculo):
\bar{V}\approx 0{,}11937/1490 \approx 8{,}01\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.

Passo 4

Tratar a compressibilidade \kappa.
No enunciado foi dado \kappa = 9{,}8\times10^{-5} com notação ambígua. Compressibilidade isotérmica típica de líquidos é da ordem de 10^{-10} a 10^{-9}\\ \mathrm{Pa^{-1}}; a notação dada corresponde normalmente a unidades de \mathrm{atm^{-1}}. Portanto vou assumir que a unidade dada é \mathrm{atm^{-1}} e converter para \mathrm{Pa^{-1}} (SI) usando 1\\ \mathrm{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}.
Logo,
\kappa_{T}=9{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{atm^{-1}}=\dfrac{9{,}8\times10^{-5}}{101\,325}\\ \mathrm{Pa^{-1}}.
Calculo numérico:
\kappa_{T}\approx 9{,}8\times10^{-5}/101325 \approx 9{,}67\times10^{-10}\\ \mathrm{Pa^{-1}}.
(Aviso: se a intenção original do enunciado fosse fornecer \kappa já em \mathrm{Pa^{-1}}, o valor e o resultado mudariam; a suposição acima é a mais consistente com valores típicos de líquidos.)

Passo 5

Agora calculo o termo de correção \Delta=\dfrac{T\,\bar{V}\,\alpha^{2}}{\kappa_{T}}.
Primeiro \alpha^{2}:
\alpha^{2}=(1{,}33\times10^{-3})^{2}=1{,}7689\times10^{-6}\\ \mathrm{K^{-2}}.
Produto T\,\bar{V}:
T\,\bar{V}=298{,}15\times 8{,}01\times10^{-5}\\ \mathrm{K\cdot m^{3}/mol} \approx 0{,}02388\\ \mathrm{m^{3}\cdot K/mol}.
Produto completo do numerador:
T\,\bar{V}\,\alpha^{2}\approx 0{,}02388\times 1{,}7689\times10^{-6} \approx 4{,}224\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}/mol\cdot K}.
Divido por \kappa_{T}:
\Delta=\dfrac{4{,}224\times10^{-8}}{9{,}67\times10^{-10}}\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \approx 43{,}7\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Observação de unidade: o quociente resulta em \mathrm{J/(mol\cdot K)} porque \mathrm{Pa}=\mathrm{J/m^{3}}, e a combinação de \bar{V} e \kappa_{T} dá a conversão correta.

Passo 6

Finalmente calculo \bar{C}_{V} pela fórmula isolada:
\bar{C}_{V}=\bar{C}_{P}-\Delta = 116\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} - 43{,}7\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Logo
\bar{C}_{V}\approx 72{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Breve comentário: o valor faz sentido numericamente (capacidades molares típicas de líquidos orgânicos estão nessa ordem de grandeza). Se a unidade original de \kappa fosse outra, a correção \Delta mudaria; usei a interpretação mais compatível com dados típicos.

Resposta

\bar{C}_{V}\approx 72{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}

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