Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de R^3 ou R^4 conforme corresponda.
(d) (x1, x2, x3, x4) in R^4: 3 x1+x2+x3+x4= 0 e 5 x1-x2+x3-x4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para um subespaço de que é definido por duas equações lineares. Depois, vamos estender essa base para conseguir uma base completa de . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e bases de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem o subespaço:
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0 5x1 - x2 + x3 - x4 = 0
Nosso objetivo é resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em função de outras, identificando assim os vetores que formam a base.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
3 & 1 & 1 & 1 & | & 0 5 & -1 & 1 & -1 & | & 0
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz.

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar o Linha 2 = Linha 2 - (53 times Linha 1) da segunda equação. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 5 - 53 times 3 = 5 - 5 = 0 e subtrair da segunda linha:
-1 - 53 times 1 = -1 - 53 = -83
Calculando:
1 - 53 times 1 = 1 - 53 = -23
-1 - 53 times 1 = -1 - 53 = -83
3 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -83 & -23 & -83 & | & 0
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por Linha 2 = Linha 2 div (-23) para facilitar:
0 4 1 4 | 0
Isso resulta em:
3 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 4 & 1 & 4 & | & 0
Então, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver para uma das variáveis. Vamos resolver a segunda equação para 4x2 + x3 + 4x4 = 0 implies x2 = -14x3 - x4 :
3x1 + (-14x3 - x4) + x3 + x4 = 0
Substituindo 3x1 + (34x3) = 0 implies x1 = -14x3 na primeira equação:

Passo 7

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x1 = -14x3 x2 = -14x3 - x4 x3 = x3 x4 = x4 e x1 x2 x3 x4 = x3 -14 -14 1 0 + x4 0 -1 0 1 , que serão nossas variáveis livres:
Podemos escrever o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:

Passo 8

Os vetores que multiplicam as variáveis livres formam a base do subespaço:
-14 -14 1 0 , 0 -1 0 1

Passo 9

Agora, para estender essa base a uma base de 1 0 0 0 , 0 0 1 0 , precisamos adicionar dois vetores que, juntos com os já existentes, formem uma base completa. Podemos escolher vetores que não estão no subespaço original. Por exemplo:
-14 -14 1 0 , 0 -1 0 1 , 1 0 0 0 , 0 0 1 0
Assim, a base de fica:

Resposta

Uma base para o subespaço é -14 -14 1 0 . Estendendo para uma base de 0 -1 0 1 , temos:
-14 -14 1 0 , 0 -1 0 1 , 1 0 0 0 , 0 0 1 0

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