Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de ou conforme corresponda.
(d) 0 e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para um subespaço de que é definido por duas equações lineares. Depois, vamos estender essa base para conseguir uma base completa de . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e bases de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações que definem o subespaço:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em função de outras, identificando assim os vetores que formam a base.
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz.
Passo 4
Primeiro, vamos eliminar o da segunda equação. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Calculando:
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por para facilitar:
Isso resulta em:
Então, a matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver para uma das variáveis. Vamos resolver a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de e , que serão nossas variáveis livres:
Podemos escrever o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:
Passo 8
Os vetores que multiplicam as variáveis livres formam a base do subespaço:
-14 -14 1 0 , 0 -1 0 1
Passo 9
Agora, para estender essa base a uma base de 1 0 0 0 , 0 0 1 0 , precisamos adicionar dois vetores que, juntos com os já existentes, formem uma base completa. Podemos escolher vetores que não estão no subespaço original. Por exemplo:
-14 -14 1 0 , 0 -1 0 1 , 1 0 0 0 , 0 0 1 0
Assim, a base de fica:
Resposta
Uma base para o subespaço é -14 -14 1 0 . Estendendo para uma base de 0 -1 0 1 , temos: