Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(h) y = raiz(1 - x^2), y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas equações e . Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente sobre regiões planas e seus centróides. Para resolver, vamos precisar calcular a área da região e usar integrais para encontrar as coordenadas do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos analisando. A equação representa a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Já é o eixo x. Então, a região delimitada por essas equações é o semicírculo superior.

Passo 3

Vamos calcular a área dessa região. A fórmula para a área em coordenadas cartesianas é:
Aqui, e , pois o raio do círculo é 1. Substituindo pela equação dada:
Essa integral é conhecida e resulta na área de um semicírculo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centróide .
Primeiro, pela simetria da região em relação ao eixo y, sabemos que .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Simplificando:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Resposta

O centróide da região é .

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