Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar dois conceitos principais: pontos críticos e a matriz hessiana com seus autovalores. Vamos precisar entender derivadas parciais, encontrar onde elas são zero e analisar a concavidade da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 4
Da equação (2), podemos isolar
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, voltamos à equação
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando a matriz hessiana. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 7
A matriz hessiana
é dada por:
Vamos avaliar
no ponto crítico
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz hessiana para determinar a natureza do ponto crítico. Os autovalores
satisfazem a equação característica:
Para nossa matriz:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática resultante, encontramos os autovalores positivos.
Passo 9
Como ambos os autovalores são positivos, a matriz hessiana é definida positiva. Isso significa que o ponto crítico
é um ponto de mínimo local.
Resposta
O ponto crítico é
e é um ponto de mínimo local da função.