Encontre as condições necessárias e suficientes sobre A e B que tornam verdadeiras as seguintes sentenças:
A \cap B=A

Passo 1

O enunciado pede para achar em linguagem de teoria de conjuntos as condições sobre A e B tais que
A\cap B = A.
O conteúdo aqui é definição de interseção e noções de inclusão (subconjunto).

Passo 2

Lembramos que
A\cap B = \{\,x \mid x\in A\text{ e }x\in B\}.
Portanto, A\cap B = A significa que todo elemento de A está em B (para não “perder” nada da interseção) e que não aparece nenhum elemento fora de A.

Passo 3

Mostramos primeiro que se
A\subseteq B
então A\cap B = A.
  • Se x\in A, como A\subseteq B, segue x\in B. Logo x\in A\cap B.
  • Se x\in A\cap B, por definição x\in A.
Assim os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos.

Passo 4

Agora mostramos que se
A\cap B = A
então A\subseteq B.
  • Seja x\in A. Como A\cap B = A, temos x\in A\cap B, o que implica x\in B.
  • Logo todo x\in A pertence a B, isto é, A\subseteq B.

Resposta

A condição necessária e suficiente é
A\subseteq B.

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