Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para equação diferencial y^prime prime-4 y^prime+3 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(0)=1 y1^prime(0)=0 e
Escolha uma opção:
y1(t)=12 e^t+12 e^3 t e y2(t)=14 e^t-14 e^3 t
y1(t)=e^t+e^3 t e y2(t)=e^t-e^3 t
y1(t)=23 e^t-13 e^3 t e y2(t)=-13 e^t+13 e^3 t
Nenhuma das demais alternativas
y1(t)=54 e^t-14 e^3 t e y2(t)=-14 e^t+14 e^3 t
y1(t)=32 e^t-12 e^3 t e y2(t)=-12 e^t+12 e^3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial y'' - 4y' + 3y = 0, que satisfaça as condições iniciais y1(0) = 1 e y1'(0) = 0. Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo y'' por r^2, y' por r e y por 1 na equação diferencial:
r^2 - 4r + 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Podemos fatorar a equação:
(r - 1)(r - 3) = 0
Então, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = 3

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^3t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais y1(0) = 1 e y1'(0) = 0.
Primeiro, substituímos t = 0 na solução geral:
y1(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 1 (1)
Agora, derivamos a solução geral para encontrar y1'(t):
y1'(t) = C1 e^t + 3C2 e^3t
Substituindo t = 0:
y1'(0) = C1 + 3C2 = 0 (2)
Temos agora um sistema de equações:
C1 + C2 = 1 C1 + 3C2 = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
2C2 = -1 Rightarrow C2 = -12
Substituindo C2 na primeira equação:
C1 - 12 = 1 Rightarrow C1 = 32

Passo 6

Agora que temos os valores de C1 e C2, a solução particular y1(t) é:
y1(t) = 32 e^t - 12 e^3t
A solução y2(t) é a segunda solução linearmente independente, que pode ser encontrada usando o método de variação de parâmetros ou reconhecendo que, com raízes distintas, ela será:
y2(t) = -12 e^t + 12 e^3t

Resposta

A opção correta é:
y1(t)=32 e^t-12 e^3 t e y2(t)=-12 e^t+12 e^3 t

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