Encontre o conjunto fundamental de soluções
para equação diferencial
que satisfaçam as condições
Escolha uma opção:
e
e
e
Nenhuma das demais alternativas
e
e
que satisfaçam as condições
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar o conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial
, que satisfaça as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1 na equação diferencial:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos fatorar a equação:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais
e
.
Primeiro, substituímos
na solução geral:
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Substituindo
:
Temos agora um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, a solução particular
é:
A solução
é a segunda solução linearmente independente, que pode ser encontrada usando o método de variação de parâmetros ou reconhecendo que, com raízes distintas, ela será:
Resposta
A opção correta é: