Encontre o conjunto solução das seguintes equações exponenciais, reduzindo ambos os lados à mesma base ou utilizando substituição de variáveis:
\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=\frac{9}{4}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o conjunto solução da equação exponencial
\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=\frac{9}{4}.
Informações dadas:
  • A base do lado esquerdo é \dfrac{2}{3}.
  • O lado direito é o número \dfrac{9}{4}.
    Pergunta: qual(is) valor(es) de x satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Vamos lembrar algumas regras básicas de potências que vamos usar (explicando devagar, como se estivéssemos na prova):
  • Para quaisquer números positivos a (com a\neq 1) e expoentes u,v, se a^{u}=a^{v} então necessariamente u=v. Isso acontece porque a função a^{t} é injetora nessas condições (ou seja, não toma o mesmo valor para dois expoentes diferentes).
  • Para potências temos as identidades úteis: \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Essas fórmulas permitem reescrever expressões para igualar bases ou transformar expoentes.

Passo 3

Objetivo prático: reduzir ambos os lados à mesma base. Observa-se que \dfrac{9}{4} pode ser escrito em termos de potências de 2 e 3:
\frac{9}{4}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}.
Aqui usei a regra \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}} ao contrário: \dfrac{3^{2}}{2^{2}}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}.

Passo 4

Agora note a relação entre \dfrac{3}{2} e \dfrac{2}{3}. Temos
\frac{3}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}.
Portanto
\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2},
usando (a^{-1})^{2}=a^{-2}. Assim o membro direito pode ser reescrito com a mesma base do membro esquerdo.

Passo 5

Substituindo na equação original obtemos
\left(\frac{2}{3}\right)^{x}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}.
Agora temos potências com a mesma base \dfrac{2}{3}, que é positiva e diferente de 1. Pela propriedade de injetividade descrita no Passo 2, os expoentes devem ser iguais:
x=-2.

Passo 6

(Verificação alternativa com logaritmo, útil quando não se consegue ver a redução de base imediatamente.)
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
x\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)=\ln\!\left(\frac{9}{4}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{9}{4}\right)=\ln\!\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\right)=2\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right) e \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right), segue
x\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)=2\bigl(-\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)\bigr)=-2\ln\!\left(\frac{2}{3}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\neq 0, podemos dividir e obter x=-2. Mesma resposta, boa confirmação.

Passo 7

Dica rápida para a prova: ao ver uma equação do tipo \left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}=\dfrac{c}{d}, tente escrever \dfrac{c}{d} como \left(\dfrac{a}{b}\right)^{k} ou como \left(\dfrac{b}{a}\right)^{k} — geralmente fatores pequenos (2,3,4,9, etc.) facilitam essa redução. Se não for óbvio, use logaritmos.

Resposta

\{-2\}