Encontre o conjunto solução das seguintes equações exponenciais, reduzindo ambos os lados à mesma base ou utilizando substituição de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o conjunto solução da equação exponencial
Informações dadas:
- A base do lado esquerdo é
. - O lado direito é o número
.
Pergunta: qual(is) valor(es) desatisfazem essa igualdade?
Passo 2
Vamos lembrar algumas regras básicas de potências que vamos usar (explicando devagar, como se estivéssemos na prova):
- Para quaisquer números positivos
(com ) e expoentes , se então necessariamente . Isso acontece porque a função é injetora nessas condições (ou seja, não toma o mesmo valor para dois expoentes diferentes). - Para potências temos as identidades úteis:
Essas fórmulas permitem reescrever expressões para igualar bases ou transformar expoentes.
Passo 3
Objetivo prático: reduzir ambos os lados à mesma base. Observa-se que
pode ser escrito em termos de potências de
e
:
Aqui usei a regra
ao contrário:
.
Passo 4
Agora note a relação entre
e
. Temos
Portanto
usando
. Assim o membro direito pode ser reescrito com a mesma base do membro esquerdo.
Passo 5
Substituindo na equação original obtemos
Agora temos potências com a mesma base
, que é positiva e diferente de
. Pela propriedade de injetividade descrita no Passo 2, os expoentes devem ser iguais:
Passo 6
(Verificação alternativa com logaritmo, útil quando não se consegue ver a redução de base imediatamente.)
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Como
e
, segue
Como
, podemos dividir e obter
. Mesma resposta, boa confirmação.
Passo 7
Dica rápida para a prova: ao ver uma equação do tipo
, tente escrever
como
ou como
— geralmente fatores pequenos (2,3,4,9, etc.) facilitam essa redução. Se não for óbvio, use logaritmos.