Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares:
(d) A X=3 X.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear representado por . Nosso objetivo é encontrar todas as soluções possíveis para o vetor que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para facilitar a análise. Podemos reescrever A X - 3 X = 0 da seguinte forma:
Aqui, subtraímos de ambos os lados da equação.

Passo 3

Agora, podemos fatorar o vetor (A - 3I) X = 0 na expressão resultante:
Neste passo, representa a matriz identidade de mesma dimensão que . A matriz é conhecida como a matriz resultante da subtração de vezes a matriz identidade de .

Passo 4

A equação nos mostra que estamos procurando todos os vetores que, ao serem multiplicados pela matriz , resultam no vetor nulo. Isso significa que pertence ao núcleo (ou espaço nulo) da matriz .

Passo 5

Para encontrar o conjunto solução, precisamos determinar o núcleo da matriz . Isso envolve resolver o sistema homogêneo , ou seja, encontrar todos os vetores que anulam a transformação linear definida por .

Passo 6

O núcleo de é o conjunto de autovetores de correspondentes ao autovalor . Portanto, o conjunto solução é formado por todos os vetores não nulos que satisfazem .

Resposta

O conjunto solução do sistema é o núcleo da matriz , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Esses vetores são os autovetores de associados ao autovalor .

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