Encontre d y / d x e d^{2} y / d x^{2} para as curvas paramétricas:
x=\cos 2 t, y=\sin t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} para a curva dada em forma paramétrica por x=\cos 2t e y=\sin t. As informações relevantes são:
  • A variável independente da parametrização é t.
  • As expressões dadas são x(t)=\cos 2t e y(t)=\sin t.
  • Devemos obter as derivadas de y em relação a x (primeira e segunda derivada), expressas em função de t.

Passo 2

Fórmula que vamos usar para a primeira derivada: quando x e y são funções diferenciáveis de t, a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0. Explicando: \dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em função de t e \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em função de t; a razão dá a taxa de variação de y por unidade de x. Essa fórmula é consequência da regra da cadeia. Aqui cada símbolo significa:
  • t: parâmetro.
  • \dfrac{dy}{dt}: derivada de y em relação a t.
  • \dfrac{dx}{dt}: derivada de x em relação a t.
  • \dfrac{dy}{dx}: derivada pedida.

Passo 3

Calculemos \dfrac{dy}{dt} e \dfrac{dx}{dt} explicitamente:
  • Como y=\sin t, temos
\frac{dy}{dt}=\cos t,
porque a derivada de \sin t é \cos t.
  • Como x=\cos 2t, aplicamos a regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u' com u=2t e u'=2. Assim
\frac{dx}{dt}=-\sin(2t)\cdot 2=-2\sin 2t.

Passo 4

Agora usemos a fórmula do Passo 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-2\sin 2t}=-\frac{\cos t}{2\sin 2t}.
Podemos simplificar usando \sin 2t=2\sin t\cos t. Substituindo:
\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{2\cdot (2\sin t\cos t)}=-\frac{\cos t}{4\sin t\cos t}.
Se \cos t\neq 0 podemos cancelar \cos t e obter
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{4\sin t}.
Observação sobre domínio: a fórmula original \dfrac{\cos t}{-2\sin 2t} exige \dfrac{dx}{dt}=-2\sin 2t\neq 0, isto é, \sin 2t\neq 0. Isso equivale a t\neq \dfrac{k\pi}{2} para k\in\mathbb{Z}. Nas mesmas posições t=\dfrac{k\pi}{2} a derivada \dfrac{dy}{dx} não está definida (porque \dfrac{dx}{dt}=0).

Passo 5

Para a segunda derivada usamos a regra seguinte: sendo u(t)=\dfrac{dy}{dx} vista como função de t, a segunda derivada de y em relação a x é
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\bigl(\dfrac{dy}{dx}\bigr)}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0. Explicando: \dfrac{d}{dt}(\dfrac{dy}{dx}) é quanto \dfrac{dy}{dx} muda quando t varia; dividir por \dfrac{dx}{dt} converte essa taxa em variação por unidade de x.

Passo 6

Usaremos a forma simplificada \dfrac{dy}{dx}= -\dfrac{1}{4\sin t}= -\tfrac{1}{4}\csc t (válida onde t\neq \dfrac{k\pi}{2}). Derivando em relação a t:
  • Lembre que \dfrac{d}{dt}\bigl(\csc t\bigr)=-\csc t\cot t.
  • Então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dt}\!\left(-\tfrac{1}{4}\csc t\right)=-\tfrac{1}{4}\cdot\bigl(-\csc t\cot t\bigr)=\tfrac{1}{4}\csc t\cot t.
Podemos reescrever \csc t\cot t como \dfrac{\cos t}{\sin^{2}t}, porque \csc t=\dfrac{1}{\sin t} e \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t}. Assim
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{\cos t}{\sin^{2}t}=\frac{\cos t}{4\sin^{2}t}.

Passo 7

Agora dividimos pelo \dfrac{dx}{dt} que já calculamos: \dfrac{dx}{dt}=-2\sin 2t=-4\sin t\cos t. Então
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\dfrac{d}{dt}\bigl(\dfrac{dy}{dx}\bigr)}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{\dfrac{\cos t}{4\sin^{2}t}}{-4\sin t\cos t}.
Simplificando passo a passo:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\cos t}{4\sin^{2}t}\cdot\frac{1}{-4\sin t\cos t}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{-4}\cdot\frac{\cos t}{\sin^{2}t}\cdot\frac{1}{\sin t\cos t}.
Cancelando \cos t (válido porque quando \cos t=0 já temos \dfrac{dx}{dt}=0 e as derivadas não estão definidas), obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{\sin^{3}t}=-\frac{1}{16\sin^{3}t}.
Repare que esta expressão está definida nas mesmas condições anteriores: t\neq \dfrac{k\pi}{2} (ou seja, \sin 2t\neq 0), e implicitamente \sin t\neq 0 para evitar divisão por zero.

Passo 8

Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança: tome t=\dfrac{\pi}{6}. Então \sin t=\tfrac{1}{2}. Pela fórmula da primeira derivada:
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{4\sin t}=-\frac{1}{4\cdot \tfrac{1}{2}}=-\frac{1}{2}.
Para a segunda:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{1}{16\sin^{3}t}=-\frac{1}{16\cdot(\tfrac{1}{2})^{3}}=-\frac{1}{16\cdot \tfrac{1}{8}}=-\frac{1}{2},
o que confirma consistência dos cálculos.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{4\sin t},\quad t\neq \dfrac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}\n \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\dfrac{1}{16\sin^{3}t},\quad t\neq \dfrac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}