Encontre
e
para as curvas paramétricas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar
e
para a curva dada em forma paramétrica por
e
. As informações relevantes são:
- A variável independente da parametrização é
. - As expressões dadas são
e . - Devemos obter as derivadas de
em relação a (primeira e segunda derivada), expressas em função de .
Passo 2
Fórmula que vamos usar para a primeira derivada: quando
e
são funções diferenciáveis de
, a derivada de
em relação a
é
desde que
. Explicando:
é a taxa de variação de
em função de
e
é a taxa de variação de
em função de
; a razão dá a taxa de variação de
por unidade de
. Essa fórmula é consequência da regra da cadeia. Aqui cada símbolo significa:
-
: parâmetro. -
: derivada de em relação a . -
: derivada de em relação a . -
: derivada pedida.
Passo 3
Calculemos
e
explicitamente:
- Como
, temos
porque a derivada de
é
.
- Como
, aplicamos a regra da cadeia: derivada de é com e . Assim
Passo 4
Agora usemos a fórmula do Passo 2:
Podemos simplificar usando
. Substituindo:
Se
podemos cancelar
e obter
Observação sobre domínio: a fórmula original
exige
, isto é,
. Isso equivale a
para
. Nas mesmas posições
a derivada
não está definida (porque
).
Passo 5
Para a segunda derivada usamos a regra seguinte: sendo
vista como função de
, a segunda derivada de
em relação a
é
desde que
. Explicando:
é quanto
muda quando
varia; dividir por
converte essa taxa em variação por unidade de
.
Passo 6
Usaremos a forma simplificada
(válida onde
). Derivando em relação a
:
- Lembre que
. - Então
Podemos reescrever
como
, porque
e
. Assim
Passo 7
Agora dividimos pelo
que já calculamos:
. Então
Simplificando passo a passo:
Cancelando
(válido porque quando
já temos
e as derivadas não estão definidas), obtemos
Repare que esta expressão está definida nas mesmas condições anteriores:
(ou seja,
), e implicitamente
para evitar divisão por zero.
Passo 8
Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança: tome
. Então
. Pela fórmula da primeira derivada:
Para a segunda:
o que confirma consistência dos cálculos.