Encontre a derivada de cada uma das funções:
g(x) = (x + 1)^(2/3) (2t^2 - 1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação de funções que são produtos de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função . Temos dois fatores multiplicados:

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e separadamente.

Passo 4

Começamos com . Para derivar isso, usamos a regra da potência, que nos diz que a derivada de é . Então:
A derivada de é 1, então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Novamente, usamos a regra da potência:
A derivada de é , então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar um pouco a expressão. Podemos fatorar e que são comuns nos dois termos:

Passo 8

Agora, vamos simplificar o que está dentro dos colchetes:
Para combinar os termos, colocamos tudo com denominador 3:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Podemos escrever isso de forma mais compacta:

Resposta

A derivada da função é:

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