Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada usando a definição (isto é, pelo limite do quociente de diferença) e (2) determinar os domínios da função e da sua derivada. Informações relevantes: a função
está definida quando o radicando é não negativo, isto é, para
tais que
. A resolução começa a partir da definição do derivada em um ponto
.
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada e explicar cada parte, devagarinho. A derivada de uma função
num ponto
é, quando existe, o limite
Aqui
representa um pequeno incremento em
. O quociente
é a taxa média de variação de
entre
e
; ao fazer
obtemos a taxa instantânea (a derivada). Para aplicar essa definição precisamos que
esteja definida para
próximos de
, ou seja,
deve ficar no domínio de
.
Passo 3
Aplicamos a definição à nossa função
. Escrevemos o quociente de diferença:
Esse quociente, à primeira vista, é meio feio; uma técnica clássica é racionalizar o numerador usando o conjugado
. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
No numerador as raízes ao quadrado simplificam para
. Então obtemos
válido sempre que
e
existe (ou seja,
).
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Para pontos
podemos fazer
tanto positivos quanto negativos suficientemente pequenos sem sair do domínio, e
é contínua, então
Explicando: ao fazer
a expressão
tende a
, então a soma no denominador tende a
. Assim a derivada para qualquer
é
Passo 5
Falta verificar o caso
. Usando a definição no ponto
temos
mas atenção: essa expressão só faz sentido para
(não podemos tomar
porque
não estaria definida). Quando
temos
. Portanto o limite não existe como número finito; ou seja, a derivada em
não existe (é vertical / tende a infinito pela direita). Concluímos que não há derivada finita em
.
Passo 6
Resumo e interpretação final: a função
está definida para todos os
. A derivada calculada pela definição existe e vale
para todo
, mas não existe em
. Então o domínio da derivada é
.
Resposta
Domínio da função:
Domínio da derivada: