Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
y=\sqrt{x};

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{x} e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada usando a definição (isto é, pelo limite do quociente de diferença) e (2) determinar os domínios da função e da sua derivada. Informações relevantes: a função y=\sqrt{x} está definida quando o radicando é não negativo, isto é, para x tais que x\ge 0. A resolução começa a partir da definição do derivada em um ponto x.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada e explicar cada parte, devagarinho. A derivada de uma função f num ponto x é, quando existe, o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h representa um pequeno incremento em x. O quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação de f entre x e x+h; ao fazer h\to0 obtemos a taxa instantânea (a derivada). Para aplicar essa definição precisamos que f(x+h) esteja definida para h próximos de 0, ou seja, x+h deve ficar no domínio de f.

Passo 3

Aplicamos a definição à nossa função f(x)=\sqrt{x}. Escrevemos o quociente de diferença:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
Esse quociente, à primeira vista, é meio feio; uma técnica clássica é racionalizar o numerador usando o conjugado \sqrt{x+h}+\sqrt{x}. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x+h})^2-(\sqrt{x})^2}{h\big(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\big)}.
No numerador as raízes ao quadrado simplificam para x+h-x=h. Então obtemos
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} = \frac{h}{h\big(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\big)} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}},
válido sempre que h\neq 0 e \sqrt{x+h} existe (ou seja, x+h\ge 0).

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Para pontos x>0 podemos fazer h tanto positivos quanto negativos suficientemente pequenos sem sair do domínio, e \sqrt{\,\cdot\,} é contínua, então
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Explicando: ao fazer h\to0 a expressão \sqrt{x+h} tende a \sqrt{x}, então a soma no denominador tende a 2\sqrt{x}. Assim a derivada para qualquer x>0 é
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Falta verificar o caso x=0. Usando a definição no ponto x=0 temos
\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}},
mas atenção: essa expressão só faz sentido para h>0 (não podemos tomar h<0 porque \sqrt{h} não estaria definida). Quando h\to 0^+ temos \dfrac{1}{\sqrt{h}}\to +\infty. Portanto o limite não existe como número finito; ou seja, a derivada em x=0 não existe (é vertical / tende a infinito pela direita). Concluímos que não há derivada finita em x=0.

Passo 6

Resumo e interpretação final: a função y=\sqrt{x} está definida para todos os x\ge 0. A derivada calculada pela definição existe e vale \dfrac{1}{2\sqrt{x}} para todo x>0, mas não existe em x=0. Então o domínio da derivada é x>0.

Resposta

y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.
Domínio da função: [0,\infty).
Domínio da derivada: (0,\infty).