Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(2 x^{2}-9 x+8\right)^{-\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
f(x)=\left(2 x^{2}-9 x+8\right)^{-\frac{2}{3}}.
Queremos encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x. As informações relevantes são apenas a expressão da função acima.

Passo 2

Vamos usar uma regra básica para derivar funções compostas do tipo u(x)^{n}. A regra (cadeia + regra da potência) diz:
\text{Se }F(x)=\big(u(x)\big)^{n}\text{ então }F'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\,u'(x).ã
Aqui:
  • u(x) é a função interna (aquela que está elevada a uma potência);
  • n é o expoente constante;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
    No nosso caso identificamos:
u(x)=2x^{2}-9x+8,\qquad n=-\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Calculemos u'(x). Derivando termo a termo:
  • a derivada de 2x^{2} é 4x porque a regra da potência dá \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x e multiplicando pelo coeficiente 2 fica 2\cdot 2x=4x;
  • a derivada de -9x é -9;
  • a derivada de 8 é 0.
    Logo
u'(x)=4x-9.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da cadeia com n=-\tfrac{2}{3}, u(x)=2x^{2}-9x+8 e u'(x)=4x-9:
f'(x)=\left(-\tfrac{2}{3}\right)\big(2x^{2}-9x+8\big)^{-\tfrac{2}{3}-1}\cdot(4x-9).
O expoente -\tfrac{2}{3}-1 é igual a -\tfrac{5}{3}. Então
f'(x)=-\tfrac{2}{3}\,(2x^{2}-9x+8)^{-\tfrac{5}{3}}(4x-9).

Passo 5

Podemos apenas reescrever a constante multiplicativa para ficar mais “limpa”. Multiplicando -\tfrac{2}{3} por (4x-9) obtemos \dfrac{18-8x}{3} (ou -\dfrac{8x-18}{3}). Assim uma forma equivalente é
f'(x)=\frac{18-8x}{3}\,(2x^{2}-9x+8)^{-\tfrac{5}{3}}.
Ambas as formas são corretas; na hora da prova escolha a que achar mais clara. Força — você conseguiu!

Resposta

f'(x)=-\tfrac{2}{3}\,(2x^{2}-9x+8)^{-\tfrac{5}{3}}(4x-9)