Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
em
, na direção do vetor
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as derivadas direcionais da função
no ponto
(isto é, em forma simbólica, para um ponto genérico
) na direção do vetor
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto é
(variáveis simbólicas; vamos manter a resposta em termos de e ). - A direção é dada pelo vetor
.
O que precisamos devolver: a derivada direcional de
em
na direção de
.
Passo 2
Lembrete da definição e da técnica que vamos usar (explicação passo a passo do conceito):
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é o produto escalar entre o gradiente de e :
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial em relação a
. O gradiente
reúne essas informações de variação.
- Importante: o vetor de direção deve ser unitário. Se a direção dada for
, primeiro normaliza-se:
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar composições como
e
:
-
. -
.
E análogas para derivação em relação a.
Passo 3
Normalizar o vetor direção
.
Calcular a norma:
Logo o vetor unitário correspondente é
Passo 4
Calcular a derivada parcial
. Começando por escrever
com funções trigonométricas padrão:
Aplicando a regra da cadeia termo a termo:
- Para
: a derivada parcial em relação a é multiplicada pela derivada de em relação a , que é . Portanto contribui com . - Para
: a derivada parcial em relação a é multiplicada pela derivada de em relação a , que é . Portanto contribui com .
Somando as contribuições:
Passo 5
Calcular a derivada parcial
.
Aplicando regra da cadeia:
- Para
: derivada parcial em relação a é vezes a derivada de em relação a , que é . Contribuição: . - Para
: derivada parcial em relação a é vezes a derivada de em relação a , que é . Contribuição: .
Somando:
Passo 6
Agora calcular a derivada direcional usando
com
.
Primeiro somamos as partes ponderadas:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agrupando termos em
e em
e simplificando um pouco:
Essa é a expressão final da derivada direcional em um ponto genérico
na direção do vetor
.]