Encontre as derivadas direcionais das funções dadas, nos pontos dados e nas direções dadas.
z=\operatorname{sen}\left(x^{2} y\right)+\cos \left(x y^{2}\right) em P=(x, y), na direção do vetor (1, \sqrt{3});

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as derivadas direcionais da função
z=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}y\bigr)+\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr)
no ponto P=(x,y) (isto é, em forma simbólica, para um ponto genérico (x,y)) na direção do vetor (1,\sqrt{3}).
Informações relevantes dadas:
  • A função é z=f(x,y)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}y\bigr)+\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr).
  • O ponto é P=(x,y) (variáveis simbólicas; vamos manter a resposta em termos de x e y).
  • A direção é dada pelo vetor v=(1,\sqrt{3}).
O que precisamos devolver: a derivada direcional de f em P na direção de v.

Passo 2

Lembrete da definição e da técnica que vamos usar (explicação passo a passo do conceito):
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) é o produto escalar entre o gradiente de f e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}=f_x(P)\,u_1+f_y(P)\,u_2.
Aqui f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y é a derivada parcial em relação a y. O gradiente \nabla f=(f_x,f_y) reúne essas informações de variação.
  • Importante: o vetor de direção deve ser unitário. Se a direção dada for v, primeiro normaliza-se:
\mathbf{u}=\frac{v}{\|v\|}.
Também vamos usar a regra da cadeia para derivar composições como \sin(g(x,y)) e \cos(h(x,y)):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\sin(g(x,y))=\cos(g(x,y))\cdot g_x(x,y).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\cos(h(x,y))=-\sin(h(x,y))\cdot h_x(x,y).
    E análogas para derivação em relação a y.

Passo 3

Normalizar o vetor direção v=(1,\sqrt{3}).
Calcular a norma:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Logo o vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}=\frac{1}{2}\bigl(1,\sqrt{3}\bigr)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 4

Calcular a derivada parcial f_x(x,y). Começando por escrever f com funções trigonométricas padrão:
f(x,y)=\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)+\cos\!\bigl(xy^{2}\bigr).
Aplicando a regra da cadeia termo a termo:
  • Para \sin\!\bigl(x^{2}y\bigr): a derivada parcial em relação a x é \cos\!\bigl(x^{2}y\bigr) multiplicada pela derivada de x^{2}y em relação a x, que é 2xy. Portanto contribui com 2xy\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Para \cos\!\bigl(xy^{2}\bigr): a derivada parcial em relação a x é -\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr) multiplicada pela derivada de xy^{2} em relação a x, que é y^{2}. Portanto contribui com -y^{2}\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr).
Somando as contribuições:
f_x(x,y)=2xy\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)-y^{2}\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular a derivada parcial f_y(x,y).
Aplicando regra da cadeia:
  • Para \sin\!\bigl(x^{2}y\bigr): derivada parcial em relação a y é \cos\!\bigl(x^{2}y\bigr) vezes a derivada de x^{2}y em relação a y, que é x^{2}. Contribuição: x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).
  • Para \cos\!\bigl(xy^{2}\bigr): derivada parcial em relação a y é -\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr) vezes a derivada de xy^{2} em relação a y, que é 2xy. Contribuição: -2xy\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr).
Somando:
f_y(x,y)=x^{2}\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)-2xy\sin\!\bigl(xy^{2}\bigr).

Passo 6

Agora calcular a derivada direcional usando D_{\mathbf{u}}f=f_x u_1 + f_y u_2 com \mathbf{u}=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Primeiro somamos as partes ponderadas:
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\frac{1}{2}\,f_x(x,y)+\frac{\sqrt{3}}{2}\,f_y(x,y).
Substituindo f_x e f_y:
\begin{aligned} D_{\mathbf{u}}f(x,y) &=\frac{1}{2}\bigl(2xy\cos\!(x^{2}y)-y^{2}\sin\!(xy^{2})\bigr) +\frac{\sqrt{3}}{2}\bigl(x^{2}\cos\!(x^{2}y)-2xy\sin\!(xy^{2})\bigr)\\[4pt] &=\frac{1}{2}\Bigl(2xy\cos\!(x^{2}y)-y^{2}\sin\!(xy^{2}) +\sqrt{3}\,x^{2}\cos\!(x^{2}y)-2\sqrt{3}\,xy\sin\!(xy^{2})\Bigr). \end{aligned}]

Passo 7

Agrupando termos em \cos\!(x^{2}y) e em \sin\!(xy^{2}) e simplificando um pouco:
\begin{aligned} D_{\mathbf{u}}f(x,y) &=\frac{1}{2}\Bigl(\cos\!(x^{2}y)\bigl(2xy+\sqrt{3}\,x^{2}\bigr) -\sin\!(xy^{2})\bigl(y^{2}+2\sqrt{3}\,xy\bigr)\Bigr)\\[6pt] &=\frac{1}{2}\Bigl(\cos\!(x^{2}y)\,x\bigl(2y+\sqrt{3}\,x\bigr) -\sin\!(xy^{2})\,y\bigl(y+2\sqrt{3}\,x\bigr)\Bigr). \end{aligned}
Essa é a expressão final da derivada direcional em um ponto genérico (x,y) na direção do vetor (1,\sqrt{3}).]

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\frac{1}{2}\Bigl(\cos\!(x^{2}y)\bigl(2xy+\sqrt{3}\,x^{2}\bigr)-\sin\!(xy^{2})\bigl(y^{2}+2\sqrt{3}\,xy\bigr)\Bigr)