Encontre as derivadas parciais, utilizando a regra de cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
onde as funções auxiliares são
Ou seja, calcular
e
sabendo que
depende de
apenas através de
e
.
Passo 2
Regra de cadeia (forma prática que vamos usar). Se
e
, então
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
(tratando
como variáveis independentes).
Passo 3
Aplicar isso ao nosso caso. Primeiro identifique
. Calcule
e
.
Derivada de
em relação a
é
. Aqui
. Usando a regra da cadeia interna:
Analogamente,
Passo 4
Agora calcule as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Como
,
Como
,
Passo 5
Monte a expressão de
usando a regra de cadeia:
Fatorando
:
Passo 6
Substitua
e
por suas expressões em
e simplifique o numerador passo a passo.
Primeiro escreva o numerador
:
Substituindo
e
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Portanto
Passo 7
É recomendável também expressar o denominador em
. Lembrando
. Assim uma forma totalmente em
é
Passo 8
Agora faça o mesmo para
. Partindo de
fatorando
:
Passo 9
Substitua
e
e simplifique o numerador
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Logo
Passo 10
Expressão totalmente em
usando o denominador expandido: