Encontre as derivadas parciais, utilizando a regra de cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y}, \mathrm{w}=\ln \left(\mathrm{u}^{2}+\mathrm{v}^{2}\right), \mathrm{u}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} \mathrm{e} \mathrm{v}=2 \mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{xy}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y} da função
w=\ln\big(u^{2}+v^{2}\big),
onde as funções auxiliares são
u=x^{2}+y^{2}\quad\text{e}\quad v=2x^{2}+3xy.
Ou seja, calcular w_x e w_y sabendo que w depende de x,y apenas através de u(x,y) e v(x,y).

Passo 2

Regra de cadeia (forma prática que vamos usar). Se w=f(u,v) e u=u(x,y),\,v=v(x,y), então
\frac{\partial w}{\partial x}=f_{u}\,u_{x}+f_{v}\,v_{x}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=f_{u}\,u_{y}+f_{v}\,v_{y},
onde f_{u} e f_{v} são as derivadas parciais de f em relação a u e v (tratando u,v como variáveis independentes).

Passo 3

Aplicar isso ao nosso caso. Primeiro identifique f(u,v)=\ln\big(u^{2}+v^{2}\big). Calcule f_{u} e f_{v}.
Derivada de \ln(s) em relação a s é 1/s. Aqui s=u^{2}+v^{2}. Usando a regra da cadeia interna:
f_{u}=\frac{d}{du}\ln\big(u^{2}+v^{2}\big) =\frac{1}{u^{2}+v^{2}}\cdot\frac{d}{du}\big(u^{2}+v^{2}\big) =\frac{1}{u^{2}+v^{2}}\cdot 2u =\frac{2u}{u^{2}+v^{2}}.
Analogamente,
f_{v}=\frac{2v}{u^{2}+v^{2}}.

Passo 4

Agora calcule as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.
Como u=x^{2}+y^{2},
u_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x, \qquad u_{y}=\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Como v=2x^{2}+3xy,
v_{x}=\frac{\partial v}{\partial x}=4x+3y, \qquad v_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}=3x.

Passo 5

Monte a expressão de w_{x} usando a regra de cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}=f_{u}\,u_{x}+f_{v}\,v_{x} =\frac{2u}{u^{2}+v^{2}}\cdot(2x)+\frac{2v}{u^{2}+v^{2}}\cdot(4x+3y).
Fatorando \dfrac{2}{u^{2}+v^{2}}:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{2}{u^{2}+v^{2}}\Big( u\cdot 2x + v\cdot(4x+3y)\Big).

Passo 6

Substitua u e v por suas expressões em x,y e simplifique o numerador passo a passo.
Primeiro escreva o numerador N_x:
N_x=2x\cdot u + (4x+3y)\cdot v.
Substituindo u=x^{2}+y^{2} e v=2x^{2}+3xy:
N_x=2x(x^{2}+y^{2}) + (4x+3y)(2x^{2}+3xy).
Calcule termo a termo:
2x(x^{2}+y^{2})=2x^{3}+2xy^{2},
(4x+3y)(2x^{2}+3xy)=4x\cdot2x^{2}+4x\cdot3xy+3y\cdot2x^{2}+3y\cdot3xy =8x^{3}+12x^{2}y+6x^{2}y+9xy^{2}.
Somando:
N_x=(2x^{3}+2xy^{2})+(8x^{3}+12x^{2}y+6x^{2}y+9xy^{2}) =10x^{3}+18x^{2}y+11xy^{2}.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{2\big(10x^{3}+18x^{2}y+11xy^{2}\big)}{(u^{2}+v^{2})}.

Passo 7

É recomendável também expressar o denominador em x,y. Lembrando u^{2}+v^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}+(2x^{2}+3xy)^{2}. Assim uma forma totalmente em x,y é
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{2\big(10x^{3}+18x^{2}y+11xy^{2}\big)} {(x^{2}+y^{2})^{2}+(2x^{2}+3xy)^{2}}.

Passo 8

Agora faça o mesmo para w_{y}. Partindo de
\frac{\partial w}{\partial y}=f_{u}\,u_{y}+f_{v}\,v_{y} =\frac{2u}{u^{2}+v^{2}}\cdot(2y)+\frac{2v}{u^{2}+v^{2}}\cdot(3x),
fatorando \dfrac{2}{u^{2}+v^{2}}:
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{2}{u^{2}+v^{2}}\Big( u\cdot 2y + v\cdot(3x)\Big).

Passo 9

Substitua u e v e simplifique o numerador N_y:
N_y=2y\cdot u + 3x\cdot v =2y(x^{2}+y^{2}) + 3x(2x^{2}+3xy).
Calcule termo a termo:
2y(x^{2}+y^{2})=2x^{2}y+2y^{3},
3x(2x^{2}+3xy)=6x^{3}+9x^{2}y.
Somando:
N_y=(2x^{2}y+2y^{3})+(6x^{3}+9x^{2}y)=6x^{3}+11x^{2}y+2y^{3}.
Logo
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{2\big(6x^{3}+11x^{2}y+2y^{3}\big)}{u^{2}+v^{2}}.

Passo 10

Expressão totalmente em x,y usando o denominador expandido:
\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{2\big(6x^{3}+11x^{2}y+2y^{3}\big)} {(x^{2}+y^{2})^{2}+(2x^{2}+3xy)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{2\big(10x^{3}+18x^{2}y+11xy^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}+(2x^{2}+3xy)^{2}}
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{2\big(6x^{3}+11x^{2}y+2y^{3}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{2}+(2x^{2}+3xy)^{2}}