Encontre o diferencial
sendo:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o diferencial
da função
.
Informações dadas: a variável independente é e
depende de
pela relação
. (Observação: para
geralmente consideramos
; a expressão do diferencial abaixo vale para
.)
Informações dadas: a variável independente é
Passo 2
O que é o diferencial?
O diferencial é uma forma de escrever a variação linear aproximada de
quando
sofre um pequeno incremento
. A relação básica que vamos usar é:
O diferencial
onde
é a derivada de
em relação a
e
representa um pequeno incremento em
. Então o problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Reescrever a função para aplicar a regra de derivação:
Aqui a exponenciação foi usada para transformar a raiz em potência: a raiz quadrada é a potência com expoente
.
Passo 4
Regra de derivação usada (explicação didática):
Para uma potência com
real, a regra é
Para uma potência
Isto significa: multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1. Essa regra vem da definição de derivada e das propriedades limites, mas na prática é a regra padrão que se aplica a potências.
Passo 5
Aplicar a regra ao caso
:
Converter
para forma com raiz:
portanto
Passo 6
Escrever o diferencial usando
:
Comentário sobre domínio: essa expressão é válida para
. Em
a derivada explode (tende a infinito à direita) e não se obtém um diferencial finito.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
e
, então
Isto significa que aumentando
de
em torno de
, a aproximação linear prevê que
aumente cerca de
.