Encontre o diferencial d u sendo:
u=\sqrt{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o diferencial du da função u=\sqrt{x}.
Informações dadas: a variável independente é x e u depende de x pela relação u=\sqrt{x}. (Observação: para \sqrt{x} geralmente consideramos x\ge 0; a expressão do diferencial abaixo vale para x>0.)

Passo 2

O que é o diferencial?
O diferencial du é uma forma de escrever a variação linear aproximada de u quando x sofre um pequeno incremento dx. A relação básica que vamos usar é:
du = \frac{du}{dx}\,dx,
onde \dfrac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x e dx representa um pequeno incremento em x. Então o problema reduz-se a calcular \dfrac{du}{dx}.

Passo 3

Reescrever a função para aplicar a regra de derivação:
u=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Aqui a exponenciação foi usada para transformar a raiz em potência: a raiz quadrada é a potência com expoente \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Regra de derivação usada (explicação didática):
Para uma potência \,x^{n}\, com n real, a regra é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isto significa: multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1. Essa regra vem da definição de derivada e das propriedades limites, mas na prática é a regra padrão que se aplica a potências.

Passo 5

Aplicar a regra ao caso n=\tfrac{1}{2}:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}\,x^{1/2-1}=\frac{1}{2}\,x^{-1/2}.
Converter x^{-1/2} para forma com raiz:
x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}},
portanto
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Escrever o diferencial usando \dfrac{du}{dx}:
du=\frac{du}{dx}\,dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.
Comentário sobre domínio: essa expressão é válida para x>0. Em x=0 a derivada explode (tende a infinito à direita) e não se obtém um diferencial finito.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): se x=4 e dx=0,1, então
du=\frac{1}{2\sqrt{4}}\,dx=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot 0,1=\frac{1}{4}\cdot 0,1=0,025.
Isto significa que aumentando x de 0,1 em torno de 4, a aproximação linear prevê que u=\sqrt{x} aumente cerca de 0,025.

Resposta

du=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx

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