Encontre o domínio e as raízes das funções a seguir:
y=2 \tan (a x), sendo a>0

Passo 1

O enunciado dá a função y=2\tan(ax) com a>0. As perguntas são:
  • Determinar o domínio da função.
  • Determinar as raízes da função (os valores de x tais que y=0).
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A variável independente é x.
  • O parâmetro a é um número positivo, isto é, a>0.
  • A função é a tangente escalada por 2, ou seja, y é 2 vezes \tan(ax).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar propriedades básicas da função \tan, porque isso é o que realmente importa aqui.
  • Definição: \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}. Portanto, \tan(t) está definida somente quando \cos(t)\neq0.
  • Zeros: \tan(t)=0 quando \sin(t)=0 (desde que \cos(t)\neq0). Os valores de t que anulam \sin(t) são t=k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
  • Singularidades (pontos onde \tan não é definida): ocorrem quando \cos(t)=0. Esses valores são t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, com k\in\mathbb{Z}.
  • Período: \tan(t) tem período \pi, ou seja, \tan(t+\pi)=\tan(t).
Essas observações servem para a variável t=ax no nosso problema: basta substituir t por ax.

Passo 3

Determinar o domínio significa achar todos os x\in\mathbb{R} tais que \tan(ax) está definida. Como \tan(ax)=\dfrac{\sin(ax)}{\cos(ax)}, a condição é
\cos(ax)\neq0.
Sabemos que \cos(ax)=0 exatamente quando
ax=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como a>0, podemos dividir por a sem problema e obter os x proibidos:
x=\frac{1}{a}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=\frac{\pi}{2a}+\frac{k\pi}{a},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Conclusão: o domínio é o conjunto dos reais menos esses pontos. Uma forma direta de escrever é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2a}+\tfrac{k\pi}{a},\\ k\in\mathbb{Z}\}.
Outra forma equivalente, mostrando a união de intervalos entre as descontinuidades, é
\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{k\pi-\tfrac{\pi}{2}}{a},\frac{k\pi+\tfrac{\pi}{2}}{a}\right).

Passo 4

Agora as raízes: queremos resolver y=0, ou seja 2\tan(ax)=0. O fator 2 não altera onde a função é zero, então basta resolver
\tan(ax)=0.
Como lembrado no Passo 2, \tan(t)=0 quando t=k\pi, k\in\mathbb{Z}. Substituindo t=ax
ax=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por a (lembrando a>0) obtemos as raízes
x=\frac{k\pi}{a},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observação didática: essas raízes ficam exatamente no meio dos pontos de descontinuidade encontrados no Passo 3 (porque os pontos de descontinuidade são em \dfrac{\pi}{2a}+\dfrac{k\pi}{a} e entre dois desses pontos há um zero em \dfrac{k\pi}{a}). Exemplos numéricos rápidos: se a=1 as raízes são x=k\pi; se a=2 as raízes são x=\tfrac{k\pi}{2}.

Passo 5

Resumo intuitivo e incentivo: a função é a tangente comprimida/esticada na horizontal por a. O parâmetro a muda a distância entre descontinuidades e entre zeros — quanto maior a, mais próximos eles ficam — mas as posições relativas (zeros a cada \pi/a, descontinuidades a meio passo entre zeros) seguem o padrão da tangente padrão. Vai dar certo na prova — lembra das duas regras-chave: cos ≠ 0 para domínio; sin = 0 para zeros.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{2a}+\tfrac{k\pi}{a},\\ k\in\mathbb{Z}\}
Raízes: \{x\in\mathbb{R}\mid x=\tfrac{k\pi}{a},\\ k\in\mathbb{Z}\}