Encontre o domínio e as raízes das funções a seguir:
, sendo
Passo 1
O enunciado dá a função
com
. As perguntas são:
- Determinar o domínio da função.
- Determinar as raízes da função (os valores de
tais que ).
Informações relevantes que vêm do enunciado:
- A variável independente é
. - O parâmetro
é um número positivo, isto é, . - A função é a tangente escalada por
, ou seja, é vezes .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar propriedades básicas da função
, porque isso é o que realmente importa aqui.
- Definição:
. Portanto, está definida somente quando . - Zeros:
quando (desde que ). Os valores de que anulam são , com . - Singularidades (pontos onde
não é definida): ocorrem quando . Esses valores são , com . - Período:
tem período , ou seja, .
Essas observações servem para a variável
no nosso problema: basta substituir
por
.
Passo 3
Determinar o domínio significa achar todos os
tais que
está definida. Como
, a condição é
Sabemos que
exatamente quando
Como
, podemos dividir por
sem problema e obter os
proibidos:
Conclusão: o domínio é o conjunto dos reais menos esses pontos. Uma forma direta de escrever é
Outra forma equivalente, mostrando a união de intervalos entre as descontinuidades, é
Passo 4
Agora as raízes: queremos resolver
, ou seja
. O fator
não altera onde a função é zero, então basta resolver
Como lembrado no Passo 2,
quando
,
. Substituindo
dá
Dividindo por
(lembrando
) obtemos as raízes
Observação didática: essas raízes ficam exatamente no meio dos pontos de descontinuidade encontrados no Passo 3 (porque os pontos de descontinuidade são em
e entre dois desses pontos há um zero em
). Exemplos numéricos rápidos: se
as raízes são
; se
as raízes são
.
Passo 5
Resumo intuitivo e incentivo: a função é a tangente comprimida/esticada na horizontal por
. O parâmetro
muda a distância entre descontinuidades e entre zeros — quanto maior
, mais próximos eles ficam — mas as posições relativas (zeros a cada
, descontinuidades a meio passo entre zeros) seguem o padrão da tangente padrão. Vai dar certo na prova — lembra das duas regras-chave: cos ≠ 0 para domínio; sin = 0 para zeros.
Resposta
Domínio:
Raízes:
Raízes: