Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial
e precisa encontrar duas soluções em série em torno de
. Para isso, vamos usar a técnica de séries de potências. Vamos precisar conhecer como assumir uma solução em série, calcular os coeficientes e, por fim, encontrar o Wronskiano dessas soluções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que as soluções
e
podem ser escritas como séries de potências centradas em
. Ou seja:
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:
-
:
-
:
-
:
Passo 5
Para facilitar, vamos fazer a substituição
, então
. Reescrevendo as séries em termos de
:
-
:
-
:
-
:
Passo 6
Expandindo os produtos:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Agora, vamos combinar todos os termos na equação:
Para igualar a série a zero, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 8
Vamos reindexar as somas para que todas estejam em termos de
:
-
(do primeiro termo) -
(do segundo termo) -
(do terceiro termo) -
(do quarto termo) -
(do quinto termo)
Passo 9
Agora, somamos todos os termos reindexados:
Para que isso seja zero para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero:
Passo 10
Vamos simplificar a equação:
A reorganização correta leva à relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 11
Agora, vamos determinar os coeficientes iniciais. Geralmente, escolhemos
e
como parâmetros livres. Vamos assumir
para a primeira solução
e
,
para a segunda solução
.
Passo 12
Calculando os coeficientes para
(
,
):
-
-
- Usando a relação de recorrência para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Passo 13
Agora, calculando os coeficientes para
(
,
):
-
-
- Usando a relação de recorrência para
:
- Para
:
- Para
:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Passo 14
Agora, vamos calcular o Wronskiano
em
. O Wronskiano é definido por:
Calculando as derivadas em
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 15
Por fim, se observarmos os padrões dos coeficientes, podemos tentar encontrar o termo geral para cada solução. No entanto, devido à complexidade da relação de recorrência, os termos gerais não são triviais e podem não ter uma expressão fechada simples. Portanto, para este exercício, nos contentamos com os primeiros quatro termos de cada solução.
Resposta
As duas soluções em série encontradas são:
O Wronskiano em
é: