Encontre duas soluções em série, y1 e y2, para a equação em torno de x_0. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano W(y1, y2)(x0). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(f) x y'' + y' + x y = 0, x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e precisa encontrar duas soluções em série em torno de . Para isso, vamos usar a técnica de séries de potências. Vamos precisar conhecer como assumir uma solução em série, calcular os coeficientes e, por fim, encontrar o Wronskiano dessas soluções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que as soluções e podem ser escritas como séries de potências centradas em . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Simplificando cada termo:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 5

Para facilitar, vamos fazer a substituição , então . Reescrevendo as séries em termos de :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 6

Expandindo os produtos:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Agora, vamos combinar todos os termos na equação:
Para igualar a série a zero, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 8

Vamos reindexar as somas para que todas estejam em termos de :
  1. (do primeiro termo)
  2. (do segundo termo)
  3. (do terceiro termo)
  4. (do quarto termo)
  5. (do quinto termo)

Passo 9

Agora, somamos todos os termos reindexados:
Para que isso seja zero para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero:

Passo 10

Vamos simplificar a equação:
A reorganização correta leva à relação de recorrência para os coeficientes :

Passo 11

Agora, vamos determinar os coeficientes iniciais. Geralmente, escolhemos e como parâmetros livres. Vamos assumir para a primeira solução e , para a segunda solução .

Passo 12

Calculando os coeficientes para ( , ):
  • Usando a relação de recorrência para :
  • Para :
  • Para :
Então, os primeiros quatro termos de são:

Passo 13

Agora, calculando os coeficientes para ( , ):
  • Usando a relação de recorrência para :
  • Para :
  • Para :
Então, os primeiros quatro termos de são:

Passo 14

Agora, vamos calcular o Wronskiano em . O Wronskiano é definido por:
Calculando as derivadas em :
Para :
Para :
Então:

Passo 15

Por fim, se observarmos os padrões dos coeficientes, podemos tentar encontrar o termo geral para cada solução. No entanto, devido à complexidade da relação de recorrência, os termos gerais não são triviais e podem não ter uma expressão fechada simples. Portanto, para este exercício, nos contentamos com os primeiros quatro termos de cada solução.

Resposta

As duas soluções em série encontradas são:
O Wronskiano em é:

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