Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de segundo grau juntos! O enunciado pede para encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação
usando rotação e translação de eixos. Isso envolve identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole, parábola) e reescrever a equação de uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos quadráticos, os lineares e o constante:
Passo 3
Agora, precisamos eliminar o termo misto
para simplificar a equação. Para isso, vamos usar rotação de eixos. A ideia é rotacionar o sistema de coordenadas de um ângulo
de forma que o termo
desapareça.
Passo 4
A fórmula para o ângulo de rotação
que elimina o termo
é:
Onde
,
e
.
Substituindo:
Passo 5
Calculamos o ângulo
:
Usando uma calculadora, encontramos
.
Passo 6
Com o ângulo
, definimos as novas coordenadas
e
:
Passo 7
Substituímos essas expressões na equação original e simplificamos. Após a rotação, a equação fica sem o termo
, facilitando a identificação da cônica.
Após os cálculos, a equação na nova coordenada é:
Passo 8
Essa é a equação canônica de uma hipérbole centrada na origem dos novos eixos
e
.
Resposta
A equação canônica da cônica é
, que representa uma hipérbole.