Encontre uma equação cartesiana para cada um dos planos tangentes à esfera
que são paralelos ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações dos planos que são tangentes à esfera dada por
e que também são paralelos ao plano
. Vamos usar conteúdos de Geometria Analítica, especificamente sobre esferas, planos e planos tangentes. Para resolver, vamos precisar:
- Entender o que significa um plano ser tangente a uma esfera.
- Saber como identificar se dois planos são paralelos.
- Usar a fórmula do plano tangente à esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma esfera:
, onde
é o centro da esfera e
é o raio. No nosso caso, a esfera tem centro em
e raio
, já que
.
Passo 3
Agora, para encontrar um plano tangente à esfera, usamos a fórmula do plano tangente:
, onde
são os coeficientes do vetor normal ao plano. Queremos que esse plano seja paralelo ao plano
. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. Então, o vetor normal do nosso plano tangente deve ser proporcional a
.
Passo 4
Vamos assumir que o vetor normal do plano tangente é
. A equação do plano tangente então fica:
. O
vem porque existem dois planos tangentes, um de cada lado da esfera.
Simplificando:
Resposta
As equações dos planos tangentes são:
e
Ou, simplificando:
e