Encontre uma equação cartesiana para cada um dos planos tangentes à esfera (x-3)^2+(y+2)^2+ (z-1)^2=25 que são paralelos ao plano 4 x+3 z-17=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações dos planos que são tangentes à esfera dada por (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 25 e que também são paralelos ao plano 4x + 3z - 17 = 0. Vamos usar conteúdos de Geometria Analítica, especificamente sobre esferas, planos e planos tangentes. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender o que significa um plano ser tangente a uma esfera.
  • Saber como identificar se dois planos são paralelos.
  • Usar a fórmula do plano tangente à esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma esfera: (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, onde (a, b, c) é o centro da esfera e r é o raio. No nosso caso, a esfera tem centro em (3, -2, 1) e raio 5, já que 25 = 5^2.

Passo 3

Agora, para encontrar um plano tangente à esfera, usamos a fórmula do plano tangente: A(x - a) + B(y - b) + C(z - c) = r, onde (A, B, C) são os coeficientes do vetor normal ao plano. Queremos que esse plano seja paralelo ao plano 4x + 3z - 17 = 0. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. Então, o vetor normal do nosso plano tangente deve ser proporcional a (4, 0, 3).

Passo 4

Vamos assumir que o vetor normal do plano tangente é (4, 0, 3). A equação do plano tangente então fica: 4(x - 3) + 0(y + 2) + 3(z - 1) = pm 5. O pm vem porque existem dois planos tangentes, um de cada lado da esfera.
Simplificando:
4x - 12 + 3z - 3 = pm 5
4x + 3z - 15 = pm 5

Resposta

As equações dos planos tangentes são:
4x + 3z - 15 = 5
e
4x + 3z - 15 = -5
Ou, simplificando:
4x + 3z = 20
e
4x + 3z = 10

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