Encontre uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear que tenha como soluções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem linear que tenha como soluções
e
.
Aqui, estamos lidando com EDOs de segunda ordem lineares, que geralmente têm a forma:
Como queremos uma EDO com soluções específicas
e
, vamos usar o conceito de soluções lineares independentes para construir a equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que se
e
são soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, então a EDO pode ser escrita usando o polinômio característico.
O polinômio característico para uma EDO
é:
As soluções da EDO estão relacionadas às raízes deste polinômio. No nosso caso, sabemos as soluções
e
, o que significa que as raízes do polinômio característico são
e
.
Passo 3
Agora, vamos formar o polinômio característico usando essas raízes:
Substituindo
e
:
Vamos multiplicar os termos:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Com o polinômio característico em mãos, agora podemos escrever a EDO correspondente. A forma geral da EDO é:
Comparando com o polinômio
, vemos que:
Portanto, a EDO fica:
Resposta
A equação diferencial ordinária de segunda ordem linear que tem como soluções
e
é: