Encontre uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear que tenha como soluções y1 = e^(-2 t) e y2 = e^(5 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem linear que tenha como soluções e .
Aqui, estamos lidando com EDOs de segunda ordem lineares, que geralmente têm a forma:
Como queremos uma EDO com soluções específicas e , vamos usar o conceito de soluções lineares independentes para construir a equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que se e são soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, então a EDO pode ser escrita usando o polinômio característico.
O polinômio característico para uma EDO é:
As soluções da EDO estão relacionadas às raízes deste polinômio. No nosso caso, sabemos as soluções e , o que significa que as raízes do polinômio característico são e .

Passo 3

Agora, vamos formar o polinômio característico usando essas raízes:
Substituindo e :
Vamos multiplicar os termos:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Com o polinômio característico em mãos, agora podemos escrever a EDO correspondente. A forma geral da EDO é:
Comparando com o polinômio , vemos que:
Portanto, a EDO fica:

Resposta

A equação diferencial ordinária de segunda ordem linear que tem como soluções e é:

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