Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
x y=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação na forma polar que represente a mesma curva dada pela equação cartesiana x y = 4.
Informações dadas:
  • Equação cartesiana: x y = 4.
  • Não há mais dados numéricos; só precisamos transformar essa relação para coordenadas polares.

Passo 2

Lembrete das relações entre coordenadas cartesianas e polares (isso é básico e vamos usar direto): em coordenadas polares cada ponto é descrito por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. As relações são
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Explicando: r é um número real (normalmente r\ge 0 se usamos a convenção usual) e \theta é o ângulo; multiplicando r pela projeção em x ou y obtemos as coordenadas cartesianas.

Passo 3

Substituímos as expressões de x e y em termos de r e \theta na equação x y = 4. Fazendo isso obtemos:
(r\cos\theta)(r\sin\theta)=4.
Agrupando os r:
r^2\cos\theta\sin\theta = 4.

Passo 4

Usamos uma identidade trigonométrica simples para simplificar o produto \cos\theta\sin\theta. A identidade é
\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Aplicando-a na equação anterior:
r^2\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)=4.
Multiplicando ambos os lados por 2:
r^2\sin(2\theta)=8.
Finalmente isolamos r^2:
r^2 = \dfrac{8}{\sin(2\theta)}.

Passo 5

Podemos também escrever a forma para r (tomando raiz quadrada), lembrando que aparecem os sinais \pm:
r = \pm\sqrt{\dfrac{8}{\sin(2\theta)}}.
Agora a observação importante sobre domínio: como r^2\ge 0, a fração à direita deve ser não negativa. Isso exige \sin(2\theta)>0 (não pode ser zero porque dividir por zero é impossível). Os intervalos de \theta onde \sin(2\theta)>0 são
0<\theta<\tfrac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad \pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2}
(mais generally adicionando 2k\pi para outros círculos). Isso corresponde às ramas do hiperboloide retangular xy=4 localizadas nos quadrantes I e III, que é exatamente onde x e y têm o mesmo sinal positivo ou negativo.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para checar: pegue \theta=\tfrac{\pi}{4}. Então \sin(2\theta)=\sin(\tfrac{\pi}{2})=1, e
r^2 = 8 \implies r = \pm 2\sqrt{2}.
Com r=2\sqrt{2} e \theta=\tfrac{\pi}{4} temos x=r\cos\theta=2 e y=r\sin\theta=2, logo xy=4 confere. (O sinal negativo em r corresponde ao mesmo ponto representado por (r,\theta) com r<0 e ângulo deslocado em \pi, mas a forma principal útil é a expressão para r^2 dada acima com a condição em \theta.)

Resposta

r^2 = \dfrac{8}{\sin(2\theta)}