Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma equação na forma polar que represente a mesma curva dada pela equação cartesiana
.
Informações dadas:
- Equação cartesiana:
. - Não há mais dados numéricos; só precisamos transformar essa relação para coordenadas polares.
Passo 2
Lembrete das relações entre coordenadas cartesianas e polares (isso é básico e vamos usar direto): em coordenadas polares cada ponto é descrito por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. As relações são
Explicando:
é um número real (normalmente
se usamos a convenção usual) e
é o ângulo; multiplicando
pela projeção em
ou
obtemos as coordenadas cartesianas.
Passo 3
Substituímos as expressões de
e
em termos de
e
na equação
. Fazendo isso obtemos:
Agrupando os
:
Passo 4
Usamos uma identidade trigonométrica simples para simplificar o produto
. A identidade é
Aplicando-a na equação anterior:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente isolamos
:
Passo 5
Podemos também escrever a forma para
(tomando raiz quadrada), lembrando que aparecem os sinais
:
Agora a observação importante sobre domínio: como
, a fração à direita deve ser não negativa. Isso exige
(não pode ser zero porque dividir por zero é impossível). Os intervalos de
onde
são
(mais generally adicionando
para outros círculos). Isso corresponde às ramas do hiperboloide retangular
localizadas nos quadrantes I e III, que é exatamente onde
e
têm o mesmo sinal positivo ou negativo.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para checar: pegue
. Então
, e
Com
e
temos
e
, logo
confere. (O sinal negativo em
corresponde ao mesmo ponto representado por
com
e ângulo deslocado em
, mas a forma principal útil é a expressão para
dada acima com a condição em
.)