Encontre a equação da reta da tangente à curva de equação y=x^{2} e paralela à reta de equação y=-x+1.

Passo 1

O enunciado dá a curva de equação y=x^{2} e pede a equação da reta tangente a essa curva que seja paralela à reta y=-x+1.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A curva: y=x^{2}.
  • A reta dada: y=-x+1.
  • O que se pede: a equação (explícita) da reta tangente à curva que seja paralela à reta dada.

Passo 2

Identificar a inclinação (declive) da reta dada y=-x+1.
Uma reta na forma y=mx+b tem inclinação m. Aqui a reta é y=-x+1, logo a inclinação é m=-1. Em TeX: a inclinação é -1.

Passo 3

Entender o que significa “reta tangente” em termos de inclinação:
A inclinação da reta tangente a uma curva y=f(x) num ponto de abscissa x=a é dada pela derivada f'(a). A derivada dá a taxa de variação instantânea (ou “slope”) da função naquele ponto. Vou calcular a derivada de f(x)=x^{2} usando a definição por limites (para você entender a ideia) e o resultado prático (regra do poder).
Definição por limites:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aplicando a f(x)=x^{2}:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Portanto a derivada (inclinação da tangente em x) é f'(x)=2x. Isso significa: em qualquer abscissa x, a inclinação da reta tangente à curva y=x^{2} é 2x.

Passo 4

Queremos que a reta tangente tenha a mesma inclinação da reta dada, ou seja f'(a)=-1 para algum ponto a. Usando f'(x)=2x, igualamos:
2x=-1.
Resolvendo:
x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Encontrar a ordenada correspondente na curva: y=x^{2} em x=-\tfrac{1}{2}.
y=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Portanto o ponto de tangência é \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr).

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive: y-y_{0}=m(x-x_{0}), onde m é a inclinação e (x_{0},y_{0}) o ponto de tangência. Aqui m=-1 e (x_{0},y_{0})=\bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\bigr). Substituindo:
y-\tfrac{1}{4}=-1\biggl(x-(-\tfrac{1}{2})\biggr)=-1\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr).
Agora simplificar passo a passo:
y-\tfrac{1}{4}=-x-\tfrac{1}{2},
y=-x-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=-x-\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Verificação rápida (conforto para a prova): substituir a reta encontrada na equação da curva para ver que o sistema tem interseção dupla (tangência). Igualando x^{2}=-x-\tfrac{1}{4} obtemos
x^{2}+x+\tfrac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad \bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=0,
que tem raiz dupla x=-\tfrac{1}{2}. Isso confirma que a reta toca a parábola em um único ponto (tangente) e é paralela à dada.

Resposta

y=-x-\tfrac{1}{4}