Encontre a equação da reta da tangente à curva de equação
e paralela à reta de equação
.
Passo 1
O enunciado dá a curva de equação
e pede a equação da reta tangente a essa curva que seja paralela à reta
.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
Informações relevantes tiradas do enunciado:
- A curva:
. - A reta dada:
. - O que se pede: a equação (explícita) da reta tangente à curva que seja paralela à reta dada.
Passo 2
Identificar a inclinação (declive) da reta dada
.
Uma reta na forma tem inclinação
. Aqui a reta é
, logo a inclinação é
. Em TeX: a inclinação é
.
Uma reta na forma
Passo 3
Entender o que significa “reta tangente” em termos de inclinação:
A inclinação da reta tangente a uma curva num ponto de abscissa
é dada pela derivada
. A derivada dá a taxa de variação instantânea (ou “slope”) da função naquele ponto. Vou calcular a derivada de
usando a definição por limites (para você entender a ideia) e o resultado prático (regra do poder).
Definição por limites:
A inclinação da reta tangente a uma curva
Definição por limites:
Aplicando a
:
Portanto a derivada (inclinação da tangente em
) é
. Isso significa: em qualquer abscissa
, a inclinação da reta tangente à curva
é
.
Passo 4
Queremos que a reta tangente tenha a mesma inclinação da reta dada, ou seja
para algum ponto
. Usando
, igualamos:
Resolvendo:
Passo 5
Encontrar a ordenada correspondente na curva:
em
.
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-declive:
, onde
é a inclinação e
o ponto de tangência. Aqui
e
. Substituindo:
Agora simplificar passo a passo:
Passo 7
Verificação rápida (conforto para a prova): substituir a reta encontrada na equação da curva para ver que o sistema tem interseção dupla (tangência). Igualando
obtemos
que tem raiz dupla
. Isso confirma que a reta toca a parábola em um único ponto (tangente) e é paralela à dada.