Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da hipébole
, que passa pelo ponto
, talque
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da hipérbole
que passa pelo ponto
, onde
. A matéria envolvida aqui é o estudo de retas tangentes a curvas no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e depois aplicar a fórmula da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos derivar a equação da hipérbole
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar
usando a regra do produto. A derivada de
em relação a
é:
Isso porque a derivada de uma constante (1) é zero.
Passo 4
Agora, isolamos
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da hipérbole é
.
Passo 5
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto
. Vamos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde
é a inclinação que acabamos de encontrar, ou seja,
(substituindo
e
).
Passo 6
Substituindo a inclinação na equação da reta, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação para a forma geral da reta.
Passo 7
Distribuindo o termo
:
Agora, somamos
aos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente à hipérbole
que passa pelo ponto
é: