Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da hipébole x y = 1, que passa pelo ponto (u, v), talque u != 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da hipérbole que passa pelo ponto , onde . A matéria envolvida aqui é o estudo de retas tangentes a curvas no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e depois aplicar a fórmula da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos derivar a equação da hipérbole em relação a .

Passo 3

Vamos derivar usando a regra do produto. A derivada de em relação a é:
Isso porque a derivada de uma constante (1) é zero.

Passo 4

Agora, isolamos para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da hipérbole é .

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto . Vamos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde é a inclinação que acabamos de encontrar, ou seja, (substituindo e ).

Passo 6

Substituindo a inclinação na equação da reta, temos:
Agora, vamos simplificar essa equação para a forma geral da reta.

Passo 7

Distribuindo o termo :
Agora, somamos aos dois lados:

Resposta

A equação da reta tangente à hipérbole que passa pelo ponto é:

Exercícios relacionados