Encontre a equação vetorial da reta espacial que passa pelos pontos P_{0} e P_{1} abaixo.
P_{0}=(2,-1,3), P_{1}=(-2,9,5)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta no espaço que passa pelos pontos
P_{0} = (2,-1,3)
e
P_{1} = (-2,9,5).
Para descrever uma reta no espaço usamos a forma
\vec r(t) = \vec r_{0} + t\,\vec v,
onde \vec r_{0} é o vetor posição de um ponto da reta e \vec v é o vetor diretor (não nulo).

Passo 2

Vamos obter o vetor diretor \vec v subtraindo as coordenadas de P_{0} de P_{1}:
\vec v = \overrightarrow{P_{0}P_{1}} = P_{1} - P_{0} = \bigl(-2-2,\;9-(-1),\;5-3\bigr) = (-4,\,10,\,2).
Podemos simplificar esse vetor fatorando 2:
\vec v = 2\,(-2,\,5,\,1),
então um vetor diretor mais simples é (-2,5,1).

Passo 3

Escolhendo \vec r_{0} = \overrightarrow{OP_{0}} = (2,-1,3) e \vec v = (-2,5,1), a equação vetorial da reta é
\vec r(t) = (2,-1,3) + t\,(-2,5,1), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\vec r(t) = (2,-1,3) + t\,(-2,5,1),\quad t\in\mathbb{R}.

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