(a) Encontre as equações paramétricas para a elipse x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1. [Dica: Modifique as equações do círculo no Exemplo 2.]
(b) Use as equações paramétricas para traçar a elipse quando a=3 e b=1,2,4 e 8.
(c) Como muda o formato da elipse quando b varia?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
O conteúdo é representação paramétrica de curvas planas usando funções trigonométricas. Vamos lembrar que o círculo unitário
X^{2} + Y^{2} = 1
admite a parametrização X = \cos t, Y = \sin t. A ideia é “esticá-lo” nos eixos x e y para virar a elipse.

Passo 2

Começamos da parametrização do círculo unitário:
X = \cos t,\quad Y = \sin t,
que satisfaz X^{2}+Y^{2}=1. Para obter a elipse, esticamos X por a no eixo x e Y por b no eixo y. Logo, definimos
x = a\,\cos t,\quad y = b\,\sin t,
com t\in[0,2\pi). De fato,
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{a^{2}\cos^{2}t}{a^{2}} + \frac{b^{2}\sin^{2}t}{b^{2}} = \cos^{2}t + \sin^{2}t = 1.

Passo 3

Para desenhar a elipse com a=3 e b=1,2,4,8, usamos
x = 3\cos t,\quad y = b\sin t.
Os vértices principais estão em
t=0,\pi:\;(x,y)=(\pm3,0), \quad t=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}:\;(x,y)=(0,\pm b).
Isso basta para traçar cada curva suavemente ligando esses pontos em sentido anti-horário.
  • Para b=1, vértices em (\pm3,0) e (0,\pm1).
  • Para b=2, vértices em (\pm3,0) e (0,\pm2).
  • Para b=4, vértices em (\pm3,0) e (0,\pm4).
  • Para b=8, vértices em (\pm3,0) e (0,\pm8).

Passo 4

À medida que b varia mantendo a=3 fixo, o semi-eixo vertical b cresce ou encolhe:
  • Se b<3, a elipse é “achatada” verticalmente (mais larga que alta).
  • Se b=3, ela vira um círculo de raio 3.
  • Se b>3, a elipse fica “esticada” verticalmente (mais alta que larga).

Resposta

(a)
\begin{cases} x = a\,\cos t,\\\ y = b\,\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi).
(b) Para a=3, usar
x = 3\cos t,\quad y = b\sin t
com b=1,2,4,8, obtendo vértices (\pm3,0) e (0,\pm b) e ligando-os suavemente.
(c) Conforme b aumenta, a elipse cresce no eixo y (torna-se mais alta); conforme b diminui, ela se achata verticalmente.

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