(a) Encontre as equações paramétricas para a elipse
. [Dica: Modifique as equações do círculo no Exemplo 2.]
(b) Use as equações paramétricas para traçar a elipse quando
e
e 8.
(c) Como muda o formato da elipse quando
varia?
(b) Use as equações paramétricas para traçar a elipse quando
(c) Como muda o formato da elipse quando
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a elipse
O conteúdo é representação paramétrica de curvas planas usando funções trigonométricas. Vamos lembrar que o círculo unitário
admite a parametrização
,
. A ideia é “esticá-lo” nos eixos
e
para virar a elipse.
Passo 2
Começamos da parametrização do círculo unitário:
que satisfaz
. Para obter a elipse, esticamos
por
no eixo
e
por
no eixo
. Logo, definimos
com
. De fato,
Passo 3
Para desenhar a elipse com
e
, usamos
Os vértices principais estão em
Isso basta para traçar cada curva suavemente ligando esses pontos em sentido anti-horário.
- Para
, vértices em e . - Para
, vértices em e . - Para
, vértices em e . - Para
, vértices em e .
Passo 4
À medida que
varia mantendo
fixo, o semi-eixo vertical
cresce ou encolhe:
- Se
, a elipse é “achatada” verticalmente (mais larga que alta). - Se
, ela vira um círculo de raio . - Se
, a elipse fica “esticada” verticalmente (mais alta que larga).
Resposta
(a)
(b) Para
, usar
com
, obtendo vértices
e
e ligando-os suavemente.
(c) Conforme aumenta, a elipse cresce no eixo
(torna-se mais alta); conforme
diminui, ela se achata verticalmente.
(c) Conforme