Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas que tocam a curva (reta tangente) e a que é perpendicular a essa reta (reta normal).
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto . A derivada de é:
No ponto , substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 0.
Passo 3
Com a inclinação da reta tangente sendo 0, sabemos que ela é uma reta horizontal. Usando a fórmula da equação da reta:
onde é a inclinação e é o intercepto y. Como a reta passa por :
Portanto, a equação da reta tangente é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que se duas retas são perpendiculares, o produto de suas inclinações é -1. Já que a inclinação da reta tangente é 0, a reta normal terá uma inclinação que satisfaz:
Mas isso não dá uma solução válida para , o que indica que a reta normal é vertical. Portanto, a reta normal é uma reta vertical passando por .
Passo 5
Para uma reta vertical, a equação é simplesmente:
Onde é a coordenada x pelo qual a reta passa. Como a reta normal passa por :
Resposta
A reta tangente à parábola no ponto é e a reta normal é .