Encontre o erro em regime permanente para degrau unitário do sistema projetado. Garanta um erro em regime menor a 15%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o erro em regime permanente quando aplicamos um degrau unitário a um sistema que foi projetado. Além disso, precisamos garantir que esse erro seja menor que 15%. Estamos falando de sistemas de controle, especificamente de análise de erro em regime permanente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o erro em regime permanente e como ajustar o sistema para que esse erro fique dentro do limite desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é erro em regime permanente. Em sistemas de controle, o erro em regime permanente ( ess = lims to 0 s cdot E(s) ) é a diferença entre o valor de referência (o que queremos alcançar) e o valor real do sistema quando ele atinge o estado estável após uma mudança, como um degrau unitário.
Para calcular para um degrau unitário, usamos a seguinte fórmula:
Onde é a transformada de Laplace do erro.

Passo 3

Assumindo que temos um sistema de malha fechada com função de transferência E(s) = R(s)1 + G(s)H(s) e função de realimentação E(s) = 1/s1 + G(s)H(s) = 1s[1 + G(s)H(s)] , a função de transferência do erro é dada por:
Para um degrau unitário, .
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do erro em regime permanente:
ess = lims to 0 s cdot 1s[1 + G(s)H(s)] = lims to 0 11 + G(s)H(s)
Isso simplifica para:
ess = 11 + Kp
Onde Kp = lims to 0 G(s)H(s) é o ganho de posição do sistema, dado por:

Passo 5

Queremos que o erro em regime permanente seja menor que 15%, ou seja:
ess < 0,15
Substituindo 11 + Kp < 0,15 :
1 + Kp > 10,15 1 + Kp > 6,6667 Kp > 5,6667
Resolvendo para :

Resposta

Para garantir que o erro em regime permanente seja menor que 15%, o ganho de posição do sistema deve ser maior que aproximadamente 5,67.

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