Encontre o escoamento realizado por F sobre a curva da direção de t.
F = (-4 x y) i + (8 y) j - 2 k, r(t) = t i + (t^2) j + k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o escoamento realizado pelo campo vetorial sobre a curva dada pela função no intervalo . Este problema faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, substituir essa parametrização no campo vetorial e calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o escoamento (ou trabalho) realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva . Isso é feito através da integral de linha definida por:
onde é o campo vetorial e é o diferencial da curva .

Passo 3

A curva é dada por:
Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos no campo vetorial :
Substituindo , e :

Passo 5

Calculamos o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, integramos o resultado obtido de a :

Resposta

O escoamento realizado por sobre a curva é igual a .

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